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Ich habe folgende Matrix [mm] \pmat{ 6 & -2 & 3\\ 8 & -2 & 15 \\ 2 & -1 & 8}
[/mm]
Und soll die Jordan-Normalenform bestimmen. Ich weiß wie ich die Jordanform ansich aufstelle, bekomme bei den matrizen immer schon Probleme beim charakteristischen Polynom.
Dazu muss ja die Determinante dieser Matrix bestimmt werden:
[mm] \pmat{ 6-\lambda & -2 & 3\\ 8 & -2-\lambda & 15 \\ 2 & -1 & 8-\lambda}
[/mm]
und wenn ich zum Beispiel den Satz von Sarrus hier anwende, dann bekomme ich auch ein Polynom heraus, aber ich kann schlecht sagen, ob das dann auch in linearfaktoren zerfällt{und das ist doch Voraussetzung für "Jordanisierung" oder nicht?}
Bei mehreren Beispielen muss ich mich aber vorher schon so verrechnet haben, da die Polynome eindeutig nicht in Linearfaktoren zerfielen.
Kann mir jemand helfen oder vlt.sogar einen Tip geben, was man hier zur Berechnung besser machen könnte(statt Sarrus)?
Lg Sandra
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Hallo Pusteblume,
was du bisher gemacht hast um die Jordannormalform für deine Matrix zu finden ist sinnvoll. Auch Sarrus würde ich bevorzugen um die Determinaten zu berechnen, da es für 3x3 Matrizen recht schnell geht.
Wenn ich das richtig sehe, müsste das charakteristische Polynom deiner Matrix [mm] \pmat{ 6-\lambda & -2 & 3\\ 8 & -2-\lambda & 15 \\ 2 & -1 & 8-\lambda} [/mm] folgendes sein:
[mm] \mathcal{P}(t)=x^{3}-12x^{2}+45x-50
[/mm]
Nun willst du wissen ob das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Dazu musst du die Nullstellen deines Polynoms, also die Eigenwerte, berechnen. Es müssten
[mm] x_{1}=2; x_{2}=5 [/mm] und [mm] x_{3}=5
[/mm]
Nullstellen des Polynoms sein. Und somit bist du, was die Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren betrifft, schon am Ziel, denn du kannst dein Polynom jetzt auch schreiben als
[mm] \mathcal{P}(t)=(x-2)(x-5)^{2}
[/mm]
Es zerfällt also in Linearfaktoren. Du hast also die nötigen Eigenwerte gefunden die du brauchst um deine Jordansche Normalform aufzustellen.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Ansonsten frag einfach nochmal nach!
Viele Grüße, Schnecki
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