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| Aufgabe | | Seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und f [mm] \in End_{K}(V).Angenommen [/mm] f ist trigonalisierbar und V ist zyklisch als K[X]-Modul,wobei X*v=f(v) für alle v [mm] \in [/mm] V.Man begründe, dass es in der Jordanschen Normalform von f zu jedem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von f genau einen Jordan-Block mit [mm] \lambda [/mm] auf der Diagonalen gibt. |
Guten Morgen^^
Ich habe zu dieser Aufgabe ein paar Ideen, vielleicht kann mir jemand sagen,ob ich auf dem richtigen Weg bin. Ich muss es ja nur begründen und nicht beweisen.
Zunächst einmal wissen wir, dass f trigonalisierbar ist, d.h [mm] \chi_{f}(X) [/mm] zerfällt in Linearfaktoren und es ex. eine Basis B von V sodass, die darstellende Matrix von f bzgl. dieser Basis Jordansche Normalform hat.
Außerdem ist V zyklisch, d.h. V=K*v, v [mm] \in [/mm] V. Das bedeutet, dass alle Eigenvektoren Vielfache voneinander sind.
Allgmein gibt die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes [mm] \lambda [/mm] die Anzahl der Jordan-Blcöke mit [mm] \lambda [/mm] auf der Diagonalen an.
Und wenn man V als K[X] Modul sieht, dann entsprechen die Jordan Blöcke den Faktoren [mm] K[X]/((X-\lambda)^{s})
[/mm]
Ich muss also begründen, dass s immer 1 ist.
Und da V zyklisch ist, besitzt V ein 1 [mm] \times [/mm] 1 Präsentierungsmatrix.
Das ist jetzt alles ein bisschen durcheinander, aber kann man mit diesen Ideen etwas anfangen und wie kann ich jetzt weitermachen?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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