Jensens Ungleichung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Do 04.03.2010 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Beweise mit Jensens Ungleichung:
[mm] -\bruch{1}{G} log(\summe_{i=a}^{n}exp(\summe_{j=1}^{m}\bruch{G}{g_{j}}log(\bruch{p_{i}^{j}}{\summe_{k=a}^{n}p_{k}^{j}})) \ge [/mm] 0
Mit: [mm] \summe_{i=1}^{n}p_{i}^{j} [/mm] = 1
[mm] p_{i}^{j} \ge [/mm] 0
[mm] g_{j} [/mm] > 0
G = [mm] (\summe_{j=1}^{m}g_{j}^{-1})^{-1}
[/mm]
|
Hallo!
Also ich habe mal die Jensen Ungleichung nachgeschlagen: Für konvexe Funktionen f gilt: f(E[X]) [mm] \ge [/mm] E[f(X)] wobei E der Erwartungswert ist.
Mir fehlt um diese Ungleichung anzuwenden irgendwie der Erwartungswert in der Gleichung die ich zeigen soll. Da sind zwar Wahrscheinlichkeiten enthalten, aber irgendwie nicht so dass da ein Erwartungswert steht. Oder übersehe ich da etwas?
Danke schonmal!
Kati
|
|
| |
|
Hallo.
fast wäre dein Post in den Tiefen dieses Forums verschwunden, aber zum Glück hab ich die Aufgabe gefunden bevor Fußball angefangen hat. 
>
> Hallo!
>
> Also ich habe mal die Jensen Ungleichung nachgeschlagen:
> Für konvexe Funktionen f gilt: f(E[X]) [mm]\ge[/mm] E[f(X)] wobei E
> der Erwartungswert ist.
Das ist nur eine Darstellung der Jensenschen Ungleichung und bei weitem nicht die einfachste. Schau mal, ob dir dieses Seite weiter hilft: http://de.wikipedia.org/wiki/Jensensche_Ungleichung
>
> Mir fehlt um diese Ungleichung anzuwenden irgendwie der
> Erwartungswert in der Gleichung die ich zeigen soll. Da
> sind zwar Wahrscheinlichkeiten enthalten, aber irgendwie
> nicht so dass da ein Erwartungswert steht. Oder übersehe
> ich da etwas?
Den Erwartungswert, wirst du wohl jetzt nicht mehr brauchen. Aber hier ein paar Tipps.
1. Du wirst die Jensensche Ungleichung nicht nur einmal anwenden müssen.
2. [mm]exp[/mm] und [mm]log[/mm] sind invers zueinander 
3. Die Jensensche Ungleichung gilt andersherum für konkave Funktionen ( und [mm]\log[/mm] ist konkav)
4. Die Voraussetzung
> [mm]\summe_{i=1}^{n}p_{i}^{j}[/mm] = 1
scheint mir überflüssig.
Gruß
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Di 09.03.2010 | | Autor: | straussy |
Sorry, Punkt 1 ist hinfällig. Man kommt doch mit einer Anwendung der Jensenschen Ungleichung aus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mi 10.03.2010 | | Autor: | Kati |
Danke, jetzt hab ich es auch! Ich hatte eigentlich vorher schon alles zusammen, habs nur irgendwie nicht richtig in Verbindung bringen können ;)
Viele Grüße,
Kati
|
|
|
|
