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Jensen-Ungleichung: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Do 23.06.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Es sei [mm] \varphi:\IR\to\IR [/mm] eine konvexe Fkt., [mm] X\in\mathcal{L}^1 [/mm] und [mm] \varphi\circ X\in \mathcal{L}^1. [/mm]

Zeige, dass [mm] \varphi(E(X))\leq E(\varphi(X)). [/mm]

Die Idee von mir ist folgende.

[mm] \varphi:\IR\to\IR [/mm] ist konvex.
Das bedeutet, es gibt für jedes [mm] x_0\in\IR [/mm] eine Zahl [mm] c=c(x_0), [/mm] sodass [mm] \varphi(x)\geq \varphi(x_0)+c(x-x_0) [/mm] für alle [mm] x\in\IR. [/mm]

Ist [mm]x=X, x_0=E(X)[/mm], hat man

[mm] \varphi(X)\geq \varphi(E(X))+c(X-E(X)). [/mm]

Auf beiden Seiten kann man jetzt für [mm]X[/mm] bzw. [mm]\varphi(X)[/mm] den Erwartungswert bilden:

[mm] E(\varphi(X))\geq \varphi(E(X))+c(E(X)-E(X))=\varphi(E(X)) [/mm]

Und das ist das, was man zeigen sollte.



Ist das so okay??

        
Bezug
Jensen-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Do 23.06.2011
Autor: Blech

Hi,

außer Du hast es aus der gleichen Vorlesung, solltest Du zu dieser Aussage

> Das bedeutet, es gibt für jedes $ [mm] x_0\in\IR [/mm] $ eine Zahl $ [mm] c=c(x_0), [/mm] $ sodass $ [mm] \varphi(x)\geq \varphi(x_0)+c(x-x_0) [/mm] $ für alle $ [mm] x\in\IR. [/mm] $

noch einen Satz oder so verlieren ("siehe konv. Ana Satz 5.2" oder was auch immer).

Stimmt aber alles.

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Jensen-Ungleichung: Danke...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Do 23.06.2011
Autor: mikexx

...für die Antwort.

Bezug
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