Jacobisches Verfahren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:29 Mo 18.04.2005 | | Autor: | wetterfrosch |
Hallo Leute,
Ich habe hier mal ne Frage einer geg. Matrix:
Sie A [mm] \in IR^{3,3} [/mm] geg. durch A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 }.
[/mm]
Warum kann A auf eine Diagonalgestalt transformiert werden?
Ich bin mir unsicher, ob meine Überlegungen richtig sind: Eine MAtrik lässt sich doch genau dann in Diagonalgestalt bringen ( also eine HAuptdiagonale und der Rest ist =0), wenn der RAng von A gleich dem Rang der transformierten MAtrix ist oder?
Danke für die Beantwortung der Frage!
wetterfrosch
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:58 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Vorraussetzung für die Jacobi-Trafo ist ja die Symmetrie, welche hier gegeben ist.
A = [mm] A^{T}
[/mm]
Desweiteren würde ich bei der Diagonalisierbarkeit mit Eigenvektoren arugumentieren. Ich weiß aber nicht, ob der Begriff des Eigenvektors in der Vorlesung schon gefallen ist.
(Ich nehme an, die Aufgabe stammt aus dem Aufgabenblatt 1 der Vorlesung LinAlg2 an der LMU. An diesem Blatt arbeite ich derzeit auch.)
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Hallo,
den Begriff von Eigenvektoren kenne ich leider nicht....
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Ich glaube die Diagonalisierbarkeit kann ohne die Kriterien der Eigenräume oder Eigenvektoren nicht mit Mitteln der Algebra gezeigt werden.
Der Beweis über die Analysis, dass man bei ausreichend häufigem Anwenden von Rotationsmatrizen letztendlich eine Matrix in Diagonalgestalt erhält ist meines Erachtens im Vergleich zum Beweis über die Eigenvektoren sehr kompliziert.
Hat jemand noch einen einfacheren Vorschlag?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Di 19.04.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallöchen,
die wohl simpelste Methode ist die Trafo-Matrix anzugeben, oder?
Also sei deine gegebene Matrix A genannt, dann suchst du die Matrix B, so dass $ [mm] B*A*B^T=D [/mm] $ wobei D eine Diagonalmatrix ist.
weil deine Matrix A symmetrisch ist, kannst du folgende Strategie verwenden: wähle B, so dass $ B*A =C $ obere Dreiecks-matrix ist.
D.H. du brauchst die Elementarmatrizen, die dem Gauß-Algo (Zeilenumformungen!!) entsprechen, dieses B verändert nicht die rechte obere Hälfte über der Diagonale.
Dann macht $ [mm] C*B^T=D [/mm] $ aus der rechten obere Hälfte das selbe für die Spalten (weil von rechts multipliziert), d.h. es bleibt nur eine Diagonalmatrix übrig.
du musst halt nur B bestimmen - Vorraussetzung ist nun nur, dass du schon weißt, welche Elementarmatrizen man braucht um die Zeilenumformungen des Gauß-algo anzuwenden.
versuche es doch mal und schreibe diese Versuche hier hin
viele Grüße
DaMenge
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