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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 30.06.2005 | | Autor: | Berti |
Hallo Leute
habe mal ne Frage
sitze an folgender Aufgabe:
beweisen sie, dass für f [mm] \in \cal{C} [/mm] ^2 [mm] (\Omega), \Omega \subset \IR [/mm] ^n offen, gilt: [mm] H_{f}(x) [/mm] = [mm] J_{grad f}(x)
[/mm]
Meine Idee wäre:
grad f = ( [mm] \partial_{1}f(x),...., \partial_{n}f(x))
[/mm]
und davon die Jacobimatrix ist ja
[mm] \pmat{ \partial_{1} \partial_{1} f(x) & ... & \partial_{n} \partial_{1} f(x) \\ ... &... & ... \\ \partial_{n} \partial_{1} f(x) & ... & \partial_{n} \partial_{n} f(x) }
[/mm]
ich weiß aber nicht ob das stimmt denn meine funktion geht ja von [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR^n [/mm] und gilt das allgeimein?
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Hallo!
Naja, Deine Funktion $f$ geht ja nicht von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^n$, [/mm] sondern von [mm] $\IR^n$ [/mm] (bzw. der Teilmenge [mm] $\Omega$) [/mm] nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Insofern macht es Sinn, vom Gradienten zu reden - der wiederum ist ein Vektorfeld, also eine Funktion von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^n$, [/mm] an jedem Punkt ist der Gradient ein Vektor.
Und deshalb kann man seine Jacobi-Matrix aufstellen und erhält eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix, die Du auch beschrieben hast.
Naja und das ist eben die Hesse-Matrix... insofern ist der Beweis auch schon fertig. 
Lars
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