Jacobi Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Peitho |
| Aufgabe | Man berechne die Funktionalmatrix der Abbildung
F(r,p,q) = [mm] \begin{pmatrix} rsin(q)cos(p) \\ rsin(q)sin(p) \\ rcos(q) \end{pmatrix}
[/mm]
r > 0, [mm] p\in\ [/mm] [ [mm] 0,2\pi\ [/mm] [ , [mm] q\in\ [/mm] ] [mm] 0,\pi\ [/mm] [
Die durch F(r,p,q) eingeführten Koordinaten heißen Kugelkoordinaten. Für welche (r,p,q) ist die Funktionalmatrix invertierbar? |
die Funktionalmatrix ist die Jacobi Matrix welche ich durch die Ableitungen nach r,p,q bekomme und sieht so aus:
F(r,p,q) = [mm] \begin{pmatrix}
sin(q)sin(p) & -rsin(q)sin(p) & rcos(q)cos(p) \\
sin(q)sin(p) & rsin(q)cos(p) & rcos(q)sin(p)\\
cos(q) & 0 & -rsin(p)
\end{pmatrix}
[/mm]
Invertierbar wäre die Matrix wenn ihre Determinante [mm] \not= [/mm] Null ist. Aber wie kann ich das zeigen?
Ich dachte am Besten ist, wenn ich erst zeige für welche es nicht invertierbar ist - also Determinante = 0.
Ist eine Möglichkeit die Matrix auf Zeilen-Stufen-Form zu bringen?
Mit freundlichen Grüßen,
peitho
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
warum auf ZSF bringen? Du kannst die Determinante doch mit der Regel von Sarrus ausrechnen.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Peitho |
Erstmal Danke für die schnelle Antwort -
Das sieht bei mir dann folgendermaßen aus:
-r² sin(q)² sin(p)² cos(p) -r² sin(q)² sin (p)² cos(q)² - r²cos(q)²cos(p)²sin(q) - r²sin(q)² sin(p)³
r kann nicht Null werden, was in jedem Abschnitt vorkommt ist sin (q) und das kann, laut Aufgabe nicht Null werden. Da q im Intervall zwischen 0 und [mm] \pi\ [/mm] liegt beides ausgeschlossen.
Dann würde aber für alle zulässigen r, p, q die Funktionalmatrix invertierbar sein. Das ist glaube ich aber nicht richtig - und ich finde den Fehler nicht.
Liebe Grüße
:)
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Hallo,
> Erstmal Danke für die schnelle Antwort -
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> Das sieht bei mir dann folgendermaßen aus:
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> -r² sin(q)² sin(p)² cos(p) -r² sin(q)² sin (p)²
> cos(q)² - r²cos(q)²cos(p)²sin(q) - r²sin(q)²
> sin(p)³
>
Ich hab die Funktionaldeterminante jetzt nicht ausgerechnet, zusammengefasst sollte da $r^2sin(q)$ rauskommen.
> r kann nicht Null werden, was in jedem Abschnitt vorkommt
> ist sin (q) und das kann, laut Aufgabe nicht Null werden.
> Da q im Intervall zwischen 0 und [mm]\pi\[/mm] liegt beides
> ausgeschlossen.
>
> Dann würde aber für alle zulässigen r, p, q die
> Funktionalmatrix invertierbar sein. Das ist glaube ich aber
> nicht richtig - und ich finde den Fehler nicht.
Warum nicht, das ist eine Koordinatentransformation so wie r,p und q definiert sind sollte diese meiner Meinung
nach bijektiv sein.
> Liebe Grüße
>
> :)
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Erstmal Danke für die schnelle Antwort -
> >
> > Das sieht bei mir dann folgendermaßen aus:
> >
> > -r² sin(q)² sin(p)² cos(p) -r² sin(q)² sin (p)²
> > cos(q)² - r²cos(q)²cos(p)²sin(q) - r²sin(q)²
> > sin(p)³
> >
>
> Ich hab die Funktionaldeterminante jetzt nicht
> ausgerechnet, zusammengefasst sollte da [mm]r^2sin(q)[/mm]
> rauskommen.
>
> > r kann nicht Null werden, was in jedem Abschnitt vorkommt
> > ist sin (q) und das kann, laut Aufgabe nicht Null werden.
> > Da q im Intervall zwischen 0 und [mm]\pi\[/mm] liegt beides
> > ausgeschlossen.
> >
> > Dann würde aber für alle zulässigen r, p, q die
> > Funktionalmatrix invertierbar sein. Das ist glaube ich aber
> > nicht richtig - und ich finde den Fehler nicht.
>
> Warum nicht, das ist eine Koordinatentransformation so wie
> r,p und q definiert sind sollte diese meiner Meinung
> nach bijektiv sein.
Was sollte Deiner Meinung nach bijektiv sein ????
FRED
>
> > Liebe Grüße
> >
> > :)
>
>
> Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Di 02.07.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo Fred,
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> Was sollte Deiner Meinung nach bijektiv sein ????
Die Abbildung F wenn man $ r>0, [mm] p\in[0,2\pi),q\in(0,\pi)$ [/mm] wählt, kann aber natürlich sein dass ich mich irre.
$r^2sin(q) $ wird da auf jeden Fall nicht 0 und somit ist es die Jacobimatrix doch auch.
Gruß helicopter
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