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| Aufgabe | Sei G [mm] \subset \IR^m [/mm] offen. Eine Funktion f: G [mm] \to \IR^n [/mm] sei in einem Punkt [mm] x_0 \in [/mm] G differenzierbar mit der Ableitung A. Zeigen Sie, dass die Ableitung von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] eindeutig ist.
Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe eine weitere [mm] A_2. [/mm] Subtrahieren Sie beide definierten Gleichungen |
Hallo zusammen,
ich hoffe ich mache mir das ganze nicht zu einfach, aber mit dem Hinweis bin ich so rangegangen:
Da die Ableitung existiert und ich annehme, dass es eine weitere [mm] A_2 [/mm] gibt, bekomme ich 2 Darstellungen für die lineare Approximation von f um [mm] x_0
[/mm]
1) [mm] f(x)=f(x_0)+A(x,x_0)+R(x,x_0)
[/mm]
2) [mm] f(x)=f(x_0)+A_2(x,x_0)+R(x,x_0)
[/mm]
und Subtrahieren liefert [mm] A-A_2=0 \Rightarrow A=A_2.
[/mm]
War’s das schon? Und ist der Beweis so korrekt?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:07 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei G [mm]\subset \IR^m[/mm] offen. Eine Funktion f: G [mm]\to \IR^n[/mm] sei
> in einem Punkt [mm]x_0 \in[/mm] G differenzierbar mit der Ableitung
> A. Zeigen Sie, dass die Ableitung von f an der Stelle [mm]x_0[/mm]
> eindeutig ist.
>
> Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe eine weitere [mm]A_2.[/mm]
> Subtrahieren Sie beide definierten Gleichungen
> Hallo zusammen,
>
> ich hoffe ich mache mir das ganze nicht zu einfach, aber
> mit dem Hinweis bin ich so rangegangen:
>
> Da die Ableitung existiert und ich annehme, dass es eine
> weitere [mm]A_2[/mm] gibt, bekomme ich 2 Darstellungen für die
> lineare Approximation von f um [mm]x_0[/mm]
>
> 1) [mm]f(x)=f(x_0)+A(x,x_0)+R(x,x_0)[/mm]
Sollte das nicht so lauten:
[mm]f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+R(x,x_0)[/mm]
>
> 2) [mm]f(x)=f(x_0)+A_2(x,x_0)+R(x,x_0)[/mm]
Hier mußt Du schon eine andere Bez. wählen:
[mm]f(x)=f(x_0)+A_2(x-x_0)+R_2(x,x_0)[/mm]
>
> und Subtrahieren liefert [mm]A-A_2=0 \Rightarrow A=A_2.[/mm]
>
> War’s das schon?
nein . siehe oben.
FRED
> Und ist der Beweis so korrekt?
>
> Liebe Grüße
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Hallo,
danke für die Antwort, habe mich an dieser Stelle verschrieben,
ich habe dann also:
1) [mm] f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+R(x,x_0)
[/mm]
2) [mm] f(x)=f(x_0)+A_2(x-x_0)+R_2(x,x_0)
[/mm]
Wenn ich diese Gleichungen jetzt, wie im Hinweis beschrieben, subtrahiere:
[mm] A(x-x_0)+(Rx,x_0)-[A_2(x-x_0)+R_2(x,x_0)]
[/mm]
D.h. ich muss nur noch irgendwie zeigen können, dass die Rest Terme jeweils gegen Null gehen, oder?
Oder ist das auch so noch falsch?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 28.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
eigentlich geht es bei meinem Beweis wahrscheinlich nur noch um eine Kleinigkeit:
Also, ich habe zwei Ausdrücke für die Ableitungen:
[mm] f(x)=f(x_0)+A_1(x-x_0)+R_1(x,x_0)
[/mm]
[mm] f(x)=f(x_0)+A_2(x-x_0)+R_2(x,x_0)
[/mm]
und ich möchte ja zeigen, dass [mm] A_1=A_2. [/mm] Wenn ich jetzt beide Gleichungen voneinander abziehe, stören eben noch die verschiedenen Restterme [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2:
[/mm]
[mm] A_1(x-x_0)+R_1(x,x_0)-A_2(x-x_0)+R_2(x,x_0)
[/mm]
Kann ich hier irgendwie mit dem Landau Symbolen argumentieren? Für x [mm] \to x_0 [/mm] gilt doch, dass der Rest gegen Null geht. Wenn ich dann beide Reste „voneinander abziehe“ wie in meiner obigen Gleichung, gehen die Reste ja noch schneller gegen Null?!
Wäre nett, wenn mir schnell jemand helfen könnte, das mathematisch sauber zu formulieren.
Danke schonnal,
liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 30.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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