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| Aufgabe | Für [mm] f:\IR^{2} \to \IR^{2}, f(x,y)=g(x^{2}-y^{2}, [/mm] x+y) berechnen Sie die Jacobi-Matrix [mm] J_{f}(1,1), [/mm] falls g aus [mm] C^{1}(\IR^{2},\IR^{2}) [/mm] ist mit
[mm] J_{g}(u,v)= \pmat{u&v \\ v& u} [/mm] |
Hallo,
ich habe leider überhaupt keinen Ansatz gefunden für diese Aufgabe, könnte mir jemand ein paar Tipps geben?
Gruß
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Hi,
> Für [mm]f:\IR^{2} \to \IR^{2}, f(x,y)=g(x^{2}-y^{2},[/mm] x+y)
> berechnen Sie die Jacobi-Matrix [mm]J_{f}(1,1),[/mm] falls g aus
> [mm]C^{1}(\IR^{2},\IR^{2})[/mm] ist mit
> [mm]J_{g}(u,v)= \pmat{u&v \\ v& u}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe leider überhaupt keinen Ansatz gefunden für
> diese Aufgabe, könnte mir jemand ein paar Tipps geben?
Kennst du denn die allgemeine Form von der Jacobimatrix? Dann sollte es kein problem sein.
Es ist [mm] J_f(x)=\pmat{ \partial_xf_1 & \partial_yf_1 \\ \partial_xf_2 & \partial_yf_2 }
[/mm]
Nun hast du aber eine Verkettung von Funktionen. Damit wird es noch einmal spannender. Es bietet sich hier logischerweise die Kettenregel für Mehrdimensionale Funktionen an.
Mögen einmal die Dimensionen stimmen. f und g seien differenzierbar. Dann ist auch [mm] h=f\circ{g} [/mm] diffbar. Es gilt dann:
[mm] D(h)=D(f)\circ{D(g)}
[/mm]
Also ist ganz klar, was das für die Jacobimatrix gilt:
[mm] J_h=J_f*J_g
[/mm]
>
> Gruß
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Hi,
also muss ich erst [mm] J_{f} [/mm] berechnen:
[mm] \pmat{2x&-2y\\1&1} [/mm]
Danach [mm] J_{f}(1,1)= \pmat{2&-2\\1&1} [/mm]
Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 30.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> also muss ich erst [mm]J_{f}[/mm] berechnen:
> [mm]\pmat{2x&-2y\\1&1}[/mm]
> Danach [mm]J_{f}(1,1)= \pmat{2&-2\\1&1}[/mm]
> Oder?
Nein. Es ist doch
$ [mm] f(x,y)=g(x^{2}-y^{2}, [/mm] x+y)$
Bemühe die Kettenregel.
FRED
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Hallo,
also die Kettenregel sagt doch:
[mm] J_{g\circ f}(a)= J_{g}(f(a)) J_{f}(a)
[/mm]
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
>
> also die Kettenregel sagt doch:
> [mm]J_{g\circ f}(a)= J_{g}(f(a)) J_{f}(a)[/mm]
>
Ja.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
das heißt doch, dass ich f(x,y) in eine Jacobimatrix umformen und dort (1,1) einsetzen muss und mit Jg multiplizieren muss oder nicht. War mein erster Schritt ganz falsch?
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
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> das heißt doch, dass ich f(x,y) in eine Jacobimatrix
> umformen und dort (1,1) einsetzen muss und mit Jg
> multiplizieren muss oder nicht. War mein erster Schritt
> ganz falsch?
Nein, [mm]J_{f}[/mm] ist richtig.
Jetzt musst Du noch [mm]J_{g}[/mm] mit [mm]J_{f}[/mm] multiplizieren.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
also mit [mm] \pmat{u&v\\v&u}?
[/mm]
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
>
> also mit [mm]\pmat{u&v\\v&u}?[/mm]
>
Ja, wobei u und v noch zu berechnen sind.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
also war das richtig, was ich im vorherigen Post geschrieben hatte? Wenn ich Jf mit Jg multipliziere kommt folgendes raus:
[mm] \pmat{2u-2v&2v-2u\\u+v&v+u} [/mm]
Stimmt das jetzt so?
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
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> also war das richtig, was ich im vorherigen Post
> geschrieben hatte? Wenn ich Jf mit Jg multipliziere kommt
> folgendes raus:
>
> [mm]\pmat{2u-2v&2v-2u\\u+v&v+u}[/mm]
> Stimmt das jetzt so?
>
Nein, das stimmt nicht.
Beachte die Reihenfolge in der die
Matrizen miteinander multipliziert werden.
Außerdem sind die Werte für u und v zu berechnen.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
Ok, da kommt raus [mm] \pmat{2u+v& -2u+v\\2v+u&-2v+u} [/mm]
Daraus folgt [mm] \pmat{3&-1\\3&-1}
[/mm]
Richtig?
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
>
> Ok, da kommt raus [mm]\pmat{2u+v& -2u+v\\2v+u&-2v+u}[/mm]
> Daraus folgt [mm]\pmat{3&-1\\3&-1}[/mm]
> Richtig?
>
Nein.
Zum 3. und letzten Mal:
Es sind die Werte für u und v zu berechnen,
die nicht identisch mit x und y sind.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hi,
ok, ich habe ja verstanden, dass ich u und v ausrechnen muss, aber wie?
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mo 31.03.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo,
kann mir niemand sagen wie ich u und v ausrechnen kann?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Mo 31.03.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo,
kann mir jmd bitte sagen, wie ich das rausbekomme?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du hast in die Matrix einfach $(1,1)$ eingesetzt, aber du musst $h(1,1)$ dort einsetzen, mit [mm] $h(x,y)=(x^2-y^2, [/mm] x+y)$.
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