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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Mo 17.01.2011 | | Autor: | MrMojo |
| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Jacobi Differentialgleichung
y' = (9x - 15y + 31)/(15x + 6y - 31) |
Ich kenne mich bei dieser Aufgabe leider nicht wirklich aus
wie ich im Skript gelesen habe sollte man glaube ich zwei Fälle bilden
det (9 - 15) =0
(15 6) = 0
und einen zweiten Fall in der das ganze ungleich null gesetzt werden soll, aber wie geht das ganze weiter ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mr.Mojo,
> Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Jacobi
> Differentialgleichung
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> y' = (9x - 15y + 31)/(15x + 6y - 31)
> Ich kenne mich bei dieser Aufgabe leider nicht wirklich
> aus
> wie ich im Skript gelesen habe sollte man glaube ich zwei
> Fälle bilden
>
> det (9 - 15) =0
> (15 6) = 0
>
> und einen zweiten Fall in der das ganze ungleich null
> gesetzt werden soll, aber wie geht das ganze weiter ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
$y' = [mm] \frac{9x - 15y + 31}{15x + 6y - 31}$
[/mm]
Substituiere:
x = X + h ; y = Y + k
[mm] $\frac{d(Y+k)}{d(X+h)} [/mm] = [mm] \frac{9X+9h - 15Y-15k + 31}{15X+15h + 6Y+6k - 31}$
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}
9 & -15 \\
15 & 6
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -31 \\ +31 \end{pmatrix}$
[/mm]
Lösung: [mm] k=\frac{8}{3} [/mm] ; h = 1
[mm] $\frac{d(Y+8/3)}{d(X+1)} [/mm] = [mm] \frac{9X - 15Y }{15X + 6Y }=\frac{9 - 15Y/X }{15 + 6Y/X }$
[/mm]
Substituiere:
[mm] v(X)=\frac{Y}{X} [/mm] ; Y=v(X)*X ; Y'=v(X)+v'(X)*X
$v+X*v' [mm] =\frac{9 - 15*v }{15 + 6*v }$
[/mm]
$X*v' [mm] =\frac{9 - 15*v }{15 + 6*v }-v=\frac{-6*v^2-30*v+9}{6*v+15}$
[/mm]
Trennung der Variablen:
[mm] $\int \frac{6v+15}{-6v^2-30v+9} \; [/mm] dv = [mm] \int \frac{1}{x} \; [/mm] dx$
[mm] $\frac{-1}{2} *\int \frac{6v+15}{3v^2+15v-4,5} \; [/mm] dv = [mm] \int \frac{1}{x} \; [/mm] dx$
[mm] $ln|3v^2+15v-4,5|=-2*ln|X|+ln|C'|$
[/mm]
[mm] $3v^2+15v-4,5= \frac{C'}{X^2}$
[/mm]
[mm] $v^2+5v-\frac{3}{2}=\frac{C}{X^2}$
[/mm]
Resubstitution I :
[mm] $Y^2+5YX-\frac{3}{2}X^2=C$
[/mm]
[mm] $\left(Y+\frac{5}{2}X \right)^2=C+\frac{31}{4}X^2$
[/mm]
$Y= [mm] \; -\frac{5}{2}X \pm \wurzel{C+\frac{31}{4}X^2}$
[/mm]
Resubstitution II :
[mm] $y-\frac{8}{3}= \; -\frac{5}{2}(x-1) \pm \wurzel{C+\frac{31}{4}(x-1)^2}$
[/mm]
$y= [mm] \; \frac{8}{3} \; -\frac{5}{2}(x-1) \pm \wurzel{C+\frac{31}{4}(x-1)^2}$
[/mm]
Damit hat man die beiden Lösungen:
[mm] $y_1= \; \frac{8}{3} \; -\frac{5}{2}(x-1) [/mm] + [mm] \wurzel{C+\frac{31}{4}(x-1)^2}$
[/mm]
[mm] $y_2= \; \frac{8}{3} \; -\frac{5}{2}(x-1) [/mm] - [mm] \wurzel{C+\frac{31}{4}(x-1)^2}$
[/mm]
Zum Zeichnen auf dem PC habe ich [mm] C=\frac{5}{4} [/mm] gewählt.
Für [mm] y_1 [/mm] ergibt sich dann der Anfangswert [mm] \left(0 \;/ \; \frac{49}{6} \right).
[/mm]
Für [mm] y_2 [/mm] ergibt sich dann der Anfangswert [mm] \left(0 \;/ \; \frac{13}{6} \right).
[/mm]
Die Lösungsfunktionen stimmen dann mit den Runge-Kutta-Kurven überein.
LG, Martin
P.S. Informiert hatte ich mich in:
![[]](/images/popup.gif) M. Spiegel: applied DE
Siehe auch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Jacobische_Differentialgleichung
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