Jacobi- und Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:30 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
Hallo,
ich brauche dringend Hilfe. ich komme momentan mit meinen Ableitungen nicht weiter, könnte mal bitte jemand schauen ob sie richtig sind?
ausgangsform: f(x,y,z)=z³ -xz-z-x²-y²
Jacobi: (Jf)(x,y,z)=(-z-2x),(-2y),(3z²-x-1)
Hesse: (Hf)(x,y,z)=(-2, 0, -1), (0,-2,0),(-1,0,6z)
Es geht darum drei Punkte auf Extrema zu untersuchen, nur die Definitheitskriterien kommen bei mir einfach nicht hin. Also hab ich wahrscheinlich bei den Ableitungen was falsch gemacht. Könnte mir da bitte jemand helfen? Die Punkte sind P1 (1/2,0,-1) ; P2(1/3,0,-2/3); P3(-1/4,0,1/2). Beim ersten Punkt beispielsweise kommt bei mir raus "negativ definit", aber laut meinen lösungen müsste es positiv-oder negativ semidefinit sein.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=554637 leider antwortete mir dort niemand
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
Hier nochmal etwas ordentlicher;
Ich brauche dringend Hilfe ich schreib am Donnerstag Matheprüfung :(
(Jf)(x,y,z)= [mm] \pmat{ -z-2x \\ -2y\\ 3z²-x-1 }
[/mm]
(Hf)(x,y,z)= [mm] \pmat{ -2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 6z }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hier nochmal etwas ordentlicher;
> Ich brauche dringend Hilfe ich schreib am Donnerstag
> Matheprüfung :(
>
> (Jf)(x,y,z)= [mm]\pmat{ -z-2x \\ -2y\\ 3z²-x-1 }[/mm]
Du musst Potenzen mit einem "Dach" schreiben, sonst werden sie nicht angezeigt. Die Jacobi Matrix Deines ersten Beitrags stimmt.
>
> (Hf)(x,y,z)= [mm]\pmat{ -2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 6z }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
Danke für die schnelle Antwort
Oh, danke, die Potenzen sind mir wohl verloren gegangen..
Und die Hesse-Matrix?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
> Danke für die schnelle Antwort
> Oh, danke, die Potenzen sind mir wohl verloren gegangen..
> Und die Hesse-Matrix?
Mit dem Daumen nach oben wollte ich andeuten, dass sie stimmt 
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
Ok, aber wenn ich die Punkte einsetzte um ihre Definitheit zu testen, komme ich auch falsche Ergebnisse, wie kann das sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
> Ok, aber wenn ich die Punkte einsetzte um ihre Definitheit
> zu testen, komme ich auch falsche Ergebnisse, wie kann das
> sein?
Keine Ahnung, zeig mal Deine Rechnung. Dann können wir schaun, wo das Problem liegt. Ich bekomme für den Punkt P1 alternierende, mit negativem Vorzeichen beginnende Determinanten der Hauptminoren der Hessematrix. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist sie damit negativ definit.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
Ich auch aber laut der Lösung ist es kein kritischer Punkt. Folglich müsste sie negativ- oder positiv semidefinit sein oder?
Also man muss die Punkte doch in die zweite Ableitung, also Hesse Matrix einsetzten, um zu prüfen um was für einen Punkt es sich handelt. Aber es stimmt mit den Lösungen einfach nicht überein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
Wenn Du eine Antwort auf Deine Frage erwartest, solltest Du Deinen Beitrag auch als Frage und nicht als Mitteilung deklarieren.
> Ich auch aber laut der Lösung ist es kein kritischer
> Punkt. Folglich müsste sie negativ- oder positiv
> semidefinit sein oder?
Wie definierst Du 'kritischer Punkt'? Ich habe gelernt, dass ein kritischer Punkt einer ist, für den [mm] $\nabla [/mm] f =0$ gilt. Das trifft auf Punkt P1 schonmal nicht zu.
> Also man muss die Punkte doch in die zweite Ableitung,
Die Hesse-Matrix ist nicht die zweite Ableitung...
> also Hesse Matrix einsetzten, um zu prüfen um was für
> einen Punkt es sich handelt. Aber es stimmt mit den
> Lösungen einfach nicht überein...
Wieso verlässt Du Dich nicht auf Deine Rechnung? Lösungen haben den Nachtteil, dass sie nicht selten falsch sind. Ich kann z.B. gar nicht nachvollziehen, dass Du drei Punkte auf Extrema untersuchen willst/musst. Für wie viele Punkte verschwindet der Gradient denn nach Deiner Rechnung?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
| Aufgabe | Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion
f(x, y, z) = z3 − x z − z − x2 − y2 .
a) Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der Funktion f .
b) Überprüfen Sie für jeden der folgenden Punkte, ob es sich um einen kritischen Punkt
der Funktion f handelt. Entscheiden Sie gegebenenfalls, ob es sich um einen Hochpunkt,
einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt handelt.
(i) (1/2,0 ,−1)
(ii)(1/3, 0 ,−2/3)
(iii) (−1/4, 0 ,1/2)
(Hinweis: Sie brauchen nicht alle kritischen Punkte zu bestimmen;
Sie sollen nur die vorgegebenen Punkte untersuchen.)
(6 Punkte)
Lösung:
(1/2,0 ,−1) Kein kritischer Punkt
((1/3, 0 ,−2/3),13/27) Hochpunkt
((−1/4, 0 ,1/2),-5/16) Sattelpunkt |
Ich hab nochmal die komplette Aufgabenstellung mit angegeben. Also die Aufgabe ist aus einer ehemaligen Klausur, deswegen denke ich müssten die Lösungen schon stimmen.
Die Hesse Matrix ist nicht die zweite Ableitung?
Meine Herangehensweise war hier:
Gradienten und Hesse Matrix ausrechnen. Zu überprüfende Punkte in Hesse-Matrix einsetzen und nach folgenden Definitheitskriterien beurteilen: Vorzeichen der Diagonalelemente, Hauptminoren, Eigenwerte.
Mache ich irgendwas grundsätzlich falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
sorry ich hab schon wieder vergessen Potenzen richtig zu schreiben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
> Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion
> f(x, y, z) = z3 − x z − z − x2 − y2 .
>
> a) Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der
> Funktion f .
> b) Überprüfen Sie für jeden der folgenden Punkte, ob es
> sich um einen kritischen Punkt
> der Funktion f handelt. Entscheiden Sie gegebenenfalls, ob
> es sich um einen Hochpunkt,
> einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt handelt.
>
> (i) (1/2,0 ,−1)
>
> (ii)(1/3, 0 ,−2/3)
>
> (iii) (−1/4, 0 ,1/2)
>
> (Hinweis: Sie brauchen nicht alle kritischen Punkte zu
> bestimmen;
> Sie sollen nur die vorgegebenen Punkte untersuchen.)
> (6 Punkte)
>
> Lösung:
>
> (1/2,0 ,−1) Kein kritischer Punkt
> ((1/3, 0 ,−2/3),13/27) Hochpunkt
> ((−1/4, 0 ,1/2),-5/16) Sattelpunkt
> Ich hab nochmal die komplette Aufgabenstellung mit
> angegeben. Also die Aufgabe ist aus einer ehemaligen
Es empfiehlt sich, das von vornherein zu tun.
> Klausur, deswegen denke ich müssten die Lösungen schon
> stimmen.
Das muss noch lange nicht heißen, dass die Lösung stimmt.
>
> Die Hesse Matrix ist nicht die zweite Ableitung?
Der Begriff 'Ableitung' ist genau genommen nur für Funktionen einer Variable richtig definiert. Die Hessematrix ist und deren Verwendung hat einige Parallelen zur zweiten Ableitung bei Funktionen mit nur einer Variable. Ich persönlich, würde sie aber nicht als 'zweite Ableitung' bezeichnen. Ich bin zwar kein Mathematiker, aber ich glaube ein solcher würde das noch viel weniger tun als ich, da in der Mathematik großen Wert auf 'saubere' Bezeichnungen und Schreibweisen gelegt wird - zumindest bei Studenten im Grundstudium.
>
> Meine Herangehensweise war hier:
> Gradienten und Hesse Matrix ausrechnen. Zu überprüfende
> Punkte in Hesse-Matrix einsetzen und nach folgenden
Würde ich auch so machen, deshalb meine Frage: Warum willst Du Punkt P1 überprüfen? Ist das ein potentieller Kandidat für einen Extremwert?
In der Aufgabe steht doch, Du sollst überprüfen ob es sicht bei den Punkten um kritische Punkte handelt. Hast Du das getan?
Die Definition eines 'kritischen Punktes' bist Du noch schuldig.
> Definitheitskriterien beurteilen: Vorzeichen der
> Diagonalelemente, Hauptminoren, Eigenwerte.
> Mache ich irgendwas grundsätzlich falsch?
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
ich würde einen potenziell extremen punkt so definieren: (Jf)(x,y,z) = 0
..aber komischerweise haut diese art von aufgabe bei mir nie hin..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
> ich würde einen potenziell extremen punkt so definieren:
> (Jf)(x,y,z) = 0
Ich auch.
> ..aber komischerweise haut diese art von aufgabe bei mir
> nie hin..
Zum zweiten Mal: Hast Du die Punkte darauf überprüft, ob sie kritische Kandidaten sind?
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 So 29.03.2015 | | Autor: | habba |
Naja ich hab keine punkte mit dem gradienten ausgerechnet, ich habe nur die gegebenen punkte in die hesse-matrix eingesetzt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
> Naja ich hab keine punkte mit dem gradienten ausgerechnet,
> ich habe nur die gegebenen punkte in die hesse-matrix
> eingesetzt
Genau da liegt das Problem. Wenn Du erstmal überprüft hättest, ob es sich bei den Punkten um kritische Punkte handelt (wie es in der Aufgabenstellung sogar explizit gefordert ist), wüsstest Du, dass es gar keinen Sinn macht, besagten Punkt mit Hilfe der Hessematrix auf Extremalität zu überprüfen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 30.03.2015 | | Autor: | habba |
Und wie mache ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 30.03.2015 | | Autor: | notinX |
> Und wie mache ich das?
Was ist denn die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremwertes (ganz analog zum eindimensionalen Fall)? Die Frage hast Du übrigens schon beantwortet. Genau mit dieser Bedingung prüft man das.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 30.03.2015 | | Autor: | habba |
naja die notwendige bedingung ist, wie schon geschrieben f'(x)=0. die hinreichende [mm] f''(x)\not= [/mm] 0 . aber ich verstehe es trotzdem nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mo 30.03.2015 | | Autor: | notinX |
Ich zitiere mich mal selbst:
"Wenn Du eine Antwort auf Deine Frage erwartest, solltest Du Deinen Beitrag auch als Frage und nicht als Mitteilung deklarieren. "
(siehe mein Beitrag von gestern, 16:52 Uhr)
> naja die notwendige bedingung ist, wie schon geschrieben
> f'(x)=0. die hinreichende [mm]f''(x)\not=[/mm] 0 . aber ich verstehe
> es trotzdem nicht
Ja, genau. Und warum überprüfst du Gültigkeit dieser Bedingung für die gegebenen Punkte nicht? Das habe ich Dir schon mehrfach empfohlen...
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 30.03.2015 | | Autor: | habba |
das war keine frage.
ja was heißt das denn? heißt das ich soll die punkte in die jacobi-matrix einsetzen?
sag es mir doch bitte konkret, ich verstehe es sonst nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mo 30.03.2015 | | Autor: | notinX |
> das war keine frage.
Das stimmt, aber eine Reaktion hast Du Dir offensichtlich dennoch gewünscht. Vielleicht ist das besser:
Wenn Du eine Antwort/Reaktion auf Deine Frage/Aussage erwartest, solltest Du Deinen Beitrag als Frage und nicht als Mitteilung deklarieren.
> ja was heißt das denn? heißt das ich soll die punkte in
> die jacobi-matrix einsetzen?
> sag es mir doch bitte konkret, ich verstehe es sonst
> nicht...
Ja, genau. Eine Überprüfung des Kriteriums führt man durch, indem man die zu überprüfenden Punkte einsetzt und schaut, ob der Gradient verschwindet (=Bedingung erfüllt).
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mo 30.03.2015 | | Autor: | habba |
Vieeeeeelen viieelen dank ich habs endlich geschnallt :D
jetzt hat es doch geklappt dankeschön =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mo 30.03.2015 | | Autor: | notinX |
> Vieeeeeelen viieelen dank ich habs endlich geschnallt :D
> jetzt hat es doch geklappt dankeschön =)
Das freut mich. Gern geschehn 
Gruß,
notinX
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