Ja / Nein - Fragen zu Algebra < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind folgende Aussagen wahr oder falsch?
1. G abelsch <--> Jede echte Untergruppe von G ist abelsch
2. G unendliche Gruppe --> Es existiert ein Element mit unendlicher Ordnung in G
3. G Gruppe, N Normalteiler von G --> Jeder Normalteiler von N ist auch Normalteiler von G
4. [mm] $\IF_p^{\times} \overset{\sim}{=} \IZ [/mm] / [mm] p\IZ$
[/mm]
5. R Ring, [mm] $u\in [/mm] R$ irreduzibel --> (u) ist Normalteiler von R und maximales Ideal
6. K / [mm] \IQ [/mm] algebraisch --> K / [mm] \IQ [/mm] endlich
7. K / [mm] \IQ [/mm] endlich --> K / [mm] \IQ [/mm] algebraisch
8. K / [mm] \IQ [/mm] endlich --> K / [mm] \IQ [/mm] einfach |
Hallo!
Die obigen Aufgaben stammen aus einer Klausur zur Algebra 1.
Ich möchte euch um Korrektur meiner Antworten bitten:
1. falsch: [mm] $S_3$ [/mm] ist nicht abelsch ( da (12)(123) = (23), (123)(12) = (13) ), aber alle echten Untergruppen U von [mm] $S_3$ [/mm] bestehen wegen [mm] $|S_3| [/mm] = 6$ nur aus 1,2 oder 3 Elementen. Bei |U| = 1,2 ist Kommutativität klar, bei $|U| = 3$ sind die beiden Nichtneutralen Elemente gerade invers zueinander, also ist auch dann $U$ kommutativ.
2. Ich denke, das ist falsch, mir fällt aber kein Gegenbeispiel ein. Ich dachte an sowas wie: $G = [mm] \produkt_{i=1}^{\infty}(\IZ [/mm] / [mm] 2\IZ)$, [/mm] glaube aber nicht dass das erlaubt ist (?)
3. falsch: Wir hatten in der Übung mal ein Gegenbeispiel dazu, dass ich aber recht kompliziert fand (schwer zu merken, es war mit einer Gruppe aus 8 Elementen, welche die kleinsche Vierergruppe als Untergruppe hatte und diese hatte dann wiederum eine Untergruppe aus zwei Elementen, die nicht mehr NT war von der großen Gruppe.), gibt es da ein einfaches?
4. Das weiß ich nicht... Ich weiß, dass die Einheitengruppe eines Körpers zyklisch ist. Aber ist [mm] $\IF_p$ [/mm] nicht ein Körper mit p Elementen und [mm] $\IZ [/mm] / [mm] p\IZ$ [/mm] hat doch auch p Elemente?
5. Ich denke, das ist richtig, aber ich weiß die Begründung nicht.
6. falsch, als Gegenbeispiel die Körpererweiterung der algebraischen Zahlen über [mm] \IQ.
[/mm]
7. richtig (hatten wir in der VL).
8. Das weiß ich nicht...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mi 16.03.2011 | | Autor: | statler |
> Sind folgende Aussagen wahr oder falsch?
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> 1. G abelsch <--> Jede echte Untergruppe von G ist abelsch
> 2. G unendliche Gruppe --> Es existiert ein Element mit
> unendlicher Ordnung in G
> 3. G Gruppe, N Normalteiler von G --> Jeder Normalteiler
> von N ist auch Normalteiler von G
> 4. [mm]\IF_p^{\times} \overset{\sim}{=} \IZ / p\IZ[/mm]
> 5. R Ring,
> [mm]u\in R[/mm] irreduzibel --> (u) ist Normalteiler von R und
> maximales Ideal
> 6. K / [mm]\IQ[/mm] algebraisch --> K / [mm]\IQ[/mm] endlich
> 7. K / [mm]\IQ[/mm] endlich --> K / [mm]\IQ[/mm] algebraisch
> 8. K / [mm]\IQ[/mm] endlich --> K / [mm]\IQ[/mm] einfach
Mahlzeit!
> Die obigen Aufgaben stammen aus einer Klausur zur Algebra
> 1.
> Ich möchte euch um Korrektur meiner Antworten bitten:
>
> 1. falsch: [mm]S_3[/mm] ist nicht abelsch ( da (12)(123) = (23),
> (123)(12) = (13) ), aber alle echten Untergruppen U von [mm]S_3[/mm]
> bestehen wegen [mm]|S_3| = 6[/mm] nur aus 1,2 oder 3 Elementen. Bei
> |U| = 1,2 ist Kommutativität klar, bei [mm]|U| = 3[/mm] sind die
> beiden Nichtneutralen Elemente gerade invers zueinander,
> also ist auch dann [mm]U[/mm] kommutativ.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Ich denke, das ist falsch, mir fällt aber kein
> Gegenbeispiel ein. Ich dachte an sowas wie: [mm]G = \produkt_{i=1}^{\infty}(\IZ / 2\IZ)[/mm],
> glaube aber nicht dass das erlaubt ist (?)
Das ist auch falsch, aber ich weiß auch kein einfaches Gegenbeispiel, Stichworte sind da z. B. Burnside-Problem und das Gegenbeispiel von Golod und Shafarevič
> 3. falsch: Wir hatten in der Übung mal ein Gegenbeispiel
> dazu, dass ich aber recht kompliziert fand (schwer zu
> merken, es war mit einer Gruppe aus 8 Elementen, welche die
> kleinsche Vierergruppe als Untergruppe hatte und diese
> hatte dann wiederum eine Untergruppe aus zwei Elementen,
> die nicht mehr NT war von der großen Gruppe.), gibt es da
> ein einfaches?
Nee, die Gruppe muß ja nicht-kommutativ sein, und die S3 tut es nicht.
> 4. Das weiß ich nicht... Ich weiß, dass die
> Einheitengruppe eines Körpers zyklisch ist. Aber ist [mm]\IF_p[/mm]
> nicht ein Körper mit p Elementen und [mm]\IZ / p\IZ[/mm] hat doch
> auch p Elemente?
Aber die multiplikative Gruppe hat nur p-1 Elemente.
> 5. Ich denke, das ist richtig, aber ich weiß die
> Begründung nicht.
Ich denke, das ist falsch: Nimm Z[X, Y] als Ring und u = X. Der Restklassenring ist kein Körper, also ist (X) nicht maximal.
> 6. falsch, als Gegenbeispiel die Körpererweiterung der
> algebraischen Zahlen über [mm]\IQ.[/mm]
> 7. richtig (hatten wir in der VL).
>
> 8. Das weiß ich nicht...
Das ist über [mm] \IQ [/mm] richtig, weil K separabel ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mi 16.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > 2. Ich denke, das ist falsch, mir fällt aber kein
> > Gegenbeispiel ein. Ich dachte an sowas wie: [mm]G = \produkt_{i=1}^{\infty}(\IZ / 2\IZ)[/mm],
> > glaube aber nicht dass das erlaubt ist (?)
>
> Das ist auch falsch, aber ich weiß auch kein einfaches
> Gegenbeispiel, Stichworte sind da z. B. Burnside-Problem
> und das Gegenbeispiel von Golod und Shafarevič
Wieso ist das falsch/nicht erlaubt? Die Gruppe [mm] $\prod_{i \in \IN} (\IZ/n\IZ)$ [/mm] hat unendlich viele Elemente und jedes Element $x$ hat Ordnung [mm] $\le [/mm] 2$.
Alternativ kann man auch die additive oder multiplikative Gruppe des alg. Abschlusses eines endlichen Koerpers nehmen. Da jedes Element in einem endlichen Koerper liegt ist die Ordnung endlich, jedoch sind beide Gruppen abzaehlbar unendlich.
> > 5. Ich denke, das ist richtig, aber ich weiß die
> > Begründung nicht.
>
> Ich denke, das ist falsch: Nimm Z[X, Y] als Ring und u = X.
> Der Restklassenring ist kein Körper, also ist (X) nicht
> maximal.
Es reicht sogar schon [mm] $\IZ[X]$ [/mm] selber mit dem Ideal $(X)$ 
> > 8. Das weiß ich nicht...
>
> Das ist über [mm]\IQ[/mm] richtig, weil K separabel ist.
Oder anders gesagt: weil [mm] $\IQ$ [/mm] perfekt ist
Apropos: der Koerper muss ja (theoretisch) nicht perfekt sein, damit alle endlichen Erweiterungen einfach sind. Kennt jemand ein Beispiel von einem Koerper $K$, der nicht perfekt ist, so dass alle endlichen Erweiterungen einfach sind? Dies waer z.B. der Fall, falls [mm] $[\overline{K} [/mm] : K] = p$ ist und $K$ von Charakteristik $p$ ist und [mm] $\overline{K} [/mm] / K$ nicht separabel ist.
LG Felix
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