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Forum "stochastische Analysis" - Ito-Isometrie
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Ito-Isometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Mo 22.09.2014
Autor: Thomas_Aut

Aufgabe
Sei [mm] $\{ W(t) : t \ge 0 \}$ [/mm] eine Brownsche Bewegung und [mm] $\{ F(t) : t \ge 0 \}$ [/mm] die von ihr erzeugte Filtration.

Für [mm]t \ge 0[/mm] sei f(t) = [mm] (1-t)W(t)I_{[0,1)}$ [/mm] Begründe, wieso [mm]f \in M^2 [/mm] und berechne mit der Ito-Isometrie:
[mm] $\bigl |\bigl| \integral_{0}^{\infty}{f(t) dW(t)} \bigl |\bigl|_{L_{2}} [/mm] $

Hallo,

also für [mm] f \in M^2 [/mm] muss gelten :
[mm] \mathbb{E} [\integral_{0}^{\infty}{|f(t)|^2 dt}] < \infty [/mm]

das ist aber relativ rasch machbar:

[mm] \mathbb{E} [\integral_{0}^{\infty}{|f(t)|^2 dt}] = \integral_{0}^{\infty}{ \mathbb{E}[|f(t)|^2] dt}] = \integral_{0}^{1}{ \mathbb{E}[W(t)^2(1-t)^2] dt}] = \integral_{0}^{1}{ t(1-2t+t^2) dt}] = \frac{1}{12} < \infty[/mm]

allerdings finde ich wenig zur Ito-Isometrie - da gehts doch quasi darum ein stochastisches Integral wie ein (ganz normales) zu behandeln?

Hätte da jemand einen Tipp?


Liebe Grüße und Dank

Thomas

        
Bezug
Ito-Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mo 22.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Itô-Isometrie ist eigentlich die Grundlage für die stochastische Integration und solltes du können!

Es gilt:

[mm] $E\left[\left(\integral_0^t f(s) dW_s\right)^2\right] [/mm] = [mm] E\left[\int_0^t f^2(s)ds\right]$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Ito-Isometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mo 22.09.2014
Autor: Thomas_Aut

Hallo Gono,

Danke für deine Antwort!

Dh. Dann ist das ja einfach nur die Wurzel aus dem Resultat von vorher oder?


Lg Thomas


Bezug
                        
Bezug
Ito-Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Di 23.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dh. Dann ist das ja einfach nur die Wurzel aus dem Resultat von vorher oder?

Ja. Eine kurze Begründung in deinen Schritten, warum du Fubini anwenden darfst, wäre übrigens auch angebracht.

Gruß,
Gono

Bezug
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