Ist N vollständig? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 24.03.2010 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | | Ist [mm] \IN [/mm] vollständig? |
Hallo Matheraum!
Also meine Vermutung ist, dass [mm] \IN [/mm] vollständig ist, denn es gibt ja in [mm] \IN [/mm] nur die konstanten Folge, die Cauchyfolgen sind. Also sagen wir [mm] x_n [/mm] = N [mm] \forall [/mm] n . Damit ist der Grenzwert natürlich auch N und somit in [mm] \IN [/mm] . Also müsste doch [mm] \IN [/mm] vollständig sein, oder?
Was mich nur verwirrt ist, dass man sich ja immer vollständige metrische Räume ohne "Löcher" vorstellt, was bei [mm] \IN [/mm] aber nicht zutrifft.
Kann mir jemand vielleicht ein Beispiel einer Cauchyfolge in [mm] \IN [/mm] nennen, dessen Grenzwert nicht in [mm] \IN [/mm] liegt?
Vielen Dank schonmal,
MfG oby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]\IN[/mm] vollständig?
> Hallo Matheraum!
> Also meine Vermutung ist, dass [mm]\IN[/mm] vollständig ist, denn
> es gibt ja in [mm]\IN[/mm] nur die konstanten Folge, die
> Cauchyfolgen sind. Also sagen wir [mm]x_n[/mm] = N [mm]\forall[/mm] n .
Nicht ganz ! Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IN [/mm] . [mm] (x_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge [mm] \gdw [/mm] es ex. ein [mm] n_0 [/mm] und ein N in [mm] \IN [/mm] mit:
[mm] $x_n [/mm] = N$ für $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
> Damit ist der Grenzwert natürlich auch N und somit in [mm]\IN[/mm]
> . Also müsste doch [mm]\IN[/mm] vollständig sein, oder?
[mm] \IN [/mm] als Teilraum des metr. Raumes [mm] $(\IR, [/mm] |*|)$ ist vollständig
> Was mich nur verwirrt ist, dass man sich ja immer
> vollständige metrische Räume ohne "Löcher" vorstellt,
Na ja. [mm] \IR [/mm] \ (-1,1) ist ebenfalls vollständig, hat aber ein "großes Loch"
> was bei [mm]\IN[/mm] aber nicht zutrifft.
> Kann mir jemand vielleicht ein Beispiel einer Cauchyfolge
> in [mm]\IN[/mm] nennen, dessen Grenzwert nicht in [mm]\IN[/mm] liegt?
S.o.
FRED
> Vielen Dank schonmal,
> MfG oby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mi 24.03.2010 | | Autor: | oby |
Ok, dann sind ja meine Zweifel ausgeräumt. Vielen Dank! Jetzt kann ich wieder beruhigt weiterlernen.. :)
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