Ist Menge (komm.) Ring/Körper < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen mit den angegebenen Verknüpfungen Ringe sind, und wenn ja, ob sie kommutativ oder gar Körper sind.
A={f: [mm] \IR \to \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] : f(x)=0 für alle x [mm] \ge [/mm] a} mit punktweiser Addition und Multipliktation, d.h
(f+g)(x)=f(x)+g(x) bzw. (f*g)(x)=f(x)*g(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] |
Als erstes habe ich gezeigt, dass (A,+) eine abelsche Gruppe ist.
(i) (A,+) ist abgeschlossen
(f+g)(x)=f(x)+g(x) [mm] \in [/mm] (A,+) weil f(x) [mm] \in [/mm] (A,+) und g(x) [mm] \in [/mm] (A,+)
(ii) Das neutrale Element e ist e=0
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)+0=0+f(x)=f(x)
(iii) Das inverse Element ist -f(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)+(-f(x))= e = 0
(iv) (A,+) ist kommutativ
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] (A,+) ist abelsch.
Bzgl. der Multiplikation gilt:
(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x) und f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)
Dazu hab ich vorher definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \ge a \\ y, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] IST DAS ZULÄSSIG?
Dann folgerte ich:
Wenn x [mm] \ge [/mm] a folgt: 0*(0+0)=0*0+0*0
Wenn x < a folgt: y*(y+y) = y*y+y*y
Die Kommutativität folgte analog mit 0 und y.
Daraus folgerte ich dann die restlichen Bedingungen für Ring. Ich folgerte dann daraus, dass die Menge ein kommutativer Ring ist. Ein Körper ist es nicht, da ja f(x)=0 per Definition ist und somit
[mm] A*=(A\{0},*) [/mm] nicht zulässig ist.
Ich möchte nun bitte gern wissen, ob die Beweisführung so in Ordnung ist oder ob etwas fehlt bzw. Notation falsch sind.
MfG Sabine und Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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