Ist Matrix diagonalähnlich? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mi 16.09.2009 | | Autor: | SGAdler |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
6 & 4 & 16 \\
-2 & 0 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
Eigenwerte, Eigenvektoren?
Ist A diagonalähnlich? |
Morgen,
ich habe versucht die Aufgabe zu lösen und habe eine Frage bezüglich der letzten Frage.
Und zwar habe ich als Eigenwerte 1,1 und 4 rausbekommen.
Als Eigenvektoren [mm] \lambda [/mm] (3 22 [mm] 3)^T [/mm] und [mm] \lambda [/mm] (0 1 [mm] 0)^T.
[/mm]
Meiner Meinung nach ist die Matrix nicht diagonalähnlich, weil es 3 lin. unabhängige Spaltenvektoren gibt, aber nur 2 verschiedene Eigenwerte.
Ein Kumpel behauptet, dass A diagonalähnlich ist, weil die Eigenwerte gleich dem Rang der Matrix sind.
Wer hat denn nun Recht?
Gruß
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Hallo SGAdler,
> Gegeben sei die Matrix
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
6 & 4 & 16 \\
-2 & 0 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Eigenwerte, Eigenvektoren?
> Ist A diagonalähnlich?
> Morgen,
>
> ich habe versucht die Aufgabe zu lösen und habe eine Frage
> bezüglich der letzten Frage.
> Und zwar habe ich als Eigenwerte 1,1 und 4 rausbekommen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als Eigenvektoren [mm]\lambda[/mm] (3 22 [mm]3)^T[/mm] und [mm]\lambda[/mm] (0 1
> [mm]0)^T.[/mm]
> Meiner Meinung nach ist die Matrix nicht diagonalähnlich,
> weil es 3 lin. unabhängige Spaltenvektoren gibt, aber nur
> 2 verschiedene Eigenwerte.
> Ein Kumpel behauptet, dass A diagonalähnlich ist, weil
> die Eigenwerte gleich dem Rang der Matrix sind.
> Wer hat denn nun Recht?
Du hast recht, die Matrix ist nicht diagonalisierbar, denn der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=1$ [/mm] hat nur Dimension 1, er müsste aber Dimension 2 haben, damit die Matrix diagonalisierbar ist.
Stichwort: [mm] \underbrace{algebraische Vielfachheit}_{\text{Vielfachheit als Nullstelle im charakt. Polynom}} [/mm] = [mm] \underbrace{geometrische Vielfachheit}_{\text{Dimension des zugeh. Eigenraums}}
[/mm]
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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