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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgenen quadratischen Formen über [mm]\IQ_p[/mm] ([mm]p \neq 2[/mm]) isotrop sind ([mm]\lambda \in \IQ_p\backslash \IQ_p^2[/mm]):
a) [mm][/mm]
b) [mm]<\lambda p,p>[/mm]
c) [mm]<\lambda p,\lambda p>[/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich habe Probleme mit der obigen Aufgabe. Nach ein paar Tagen nachdenken, bin ich noch nicht zu einem Ergebnis gekommen und hoffe mir kann jemand helfen. Hier ist mein Ansatz:
a) Die Determinante von [mm][/mm] ist [mm]p^2\in \IQ_p^2[/mm], also ist die Form genau dann isotrop, wenn [mm]-1\in \IQ_p^2[/mm] ist. Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] $p\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 4$.
b) Die Determinante von [mm]<\lambda p,p>[/mm] ist [mm]\lambda p^2 \not\in \IQ_p^2[/mm], also ist die Form genau dann isotrop, wenn [mm]-1\not\in \IQ_p^2[/mm] ist. Das ist genau dann der Fall, wenn [mm]p\equiv 3 \mod 4[/mm].
c) Da die Determinante ein Quadrat ist, ist dieser Fall analog zu a)
Ist das so richtig? Denn das würde ja z.B. bedeuten, dass die Form $<1,1>$ isotrop sein kann, was doch eigentlich nicht möglich ist, oder?
Ausserdem habe ich auch noch eine Verständnisfrage. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass man quadratische Vektorräume über Körpern mit Charakteristik ungleich 2 diagonalisieren kann (Gram-Schmidt). Ausserdem kann man dies auch mit hermiteschen Vektoräumen über [mm]\IC[/mm]machen. Was ich nicht verstanden habe, ist, warum man sich auf [mm]\IC[/mm] beschränkt. Könnte man nicht auch beliebige hermitesche Räume diagonalisieren z.B. einen Vektorraum über einem Kreisteilungskörper? (andere "komplexe" Körper kenne ich leider nicht).
Vielen Dank schonmal im Voraus
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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