Isomorphismus von V in K^nxn < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
Sei L(V) die Menge aller Endomorphismen von V. Bekanntlich ist L(V) ein K-Vektorraum bezüglich der bildweisen Verknüpfungen ("Nacheinanderausführung" von Funktionen).
Falls dim V = [mm] n\in\IN [/mm] und X eine geordnete Basis von V ist, dann ist
[mm] M_X [/mm] : L(V) [mm] \rightarrow K^{n\times n}
[/mm]
ein Isomorphismus. |
Hallo liebes Forum.
Den oben genannten Abschnitt habe ich in einem "Lineare Algebra II" Skript unter der Überschrift "Erinnerung" gefunden.
Leider kenne ich die Funktion [mm] M_X [/mm] nicht (ist im Skript nicht genauer definiert). Hat jemand eine Idee, wie man bei gegebener Basis X einen Isomorphismus von L(V) in [mm] K^{n\times n} [/mm] definieren kann?
Oder besser noch: Ist [mm] M_X [/mm] eine Art "Standardnotation" für eine Funktion, deren Definition evtl. allgemein bekannt ist? Ich denke an bspw. zu lin. Funktionen [mm] \alpha [/mm] gehörige Matrizen wie [mm] M(\alpha) [/mm] oder Transformationsmatrizen wie [mm] M_{X,X}(\alpha), [/mm] aber [mm] M_X [/mm] ist mir unbekannt :(
Die Funktion müsste ja neben der Linearität und Injektivität insbesondere auch surjektiv sein, so daß jede Matrix aus [mm] K^{n\times n} [/mm] abgebildet wird.
Wie erreicht man das?
Danke!
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> Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
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> Sei L(V) die Menge aller Endomorphismen von V. Bekanntlich
> ist L(V) ein K-Vektorraum bezüglich der bildweisen
> Verknüpfungen ("Nacheinanderausführung" von Funktionen).
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> Falls dim V = [mm]n\in\IN[/mm] und X eine geordnete Basis von V ist,
> dann ist
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> [mm]M_X[/mm] : L(V) [mm]\rightarrow K^{n\times n}[/mm]
>
> ein Isomorphismus.
> Hallo liebes Forum.
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> Den oben genannten Abschnitt habe ich in einem "Lineare
> Algebra II" Skript unter der Überschrift "Erinnerung"
> gefunden.
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> Leider kenne ich die Funktion [mm]M_X[/mm] nicht (ist im Skript
> nicht genauer definiert). Hat jemand eine Idee, wie man bei
> gegebener Basis X einen Isomorphismus von L(V) in
> [mm]K^{n\times n}[/mm] definieren kann?
>
> Oder besser noch: Ist [mm]M_X[/mm] eine Art "Standardnotation" für
> eine Funktion, deren Definition evtl. allgemein bekannt
> ist? Ich denke an bspw. zu lin. Funktionen [mm]\alpha[/mm] gehörige
> Matrizen wie [mm]M(\alpha)[/mm] oder Transformationsmatrizen wie
> [mm]M_{X,X}(\alpha),[/mm] aber [mm]M_X[/mm] ist mir unbekannt :(
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> Die Funktion müsste ja neben der Linearität und
> Injektivität insbesondere auch surjektiv sein, so daß jede
> Matrix aus [mm]K^{n\times n}[/mm] abgebildet wird.
>
> Wie erreicht man das?
Hallo,
es geht hier darum, daß bei vorgegebener Basis X jede lineare Abbildung aus dem n-dimensionalen VR V in den VR V eindeutig durch eine nxn-Matrix beschrieben werden kann, und daß zu jeder nxn-Matrix genau eine Abbildung gehört, deren darstellende Matrix sie ist.
[mm] M_X [/mm] ist die Abbildung, die jeder lin. Abbildung [mm] \alpha [/mm] ihre darstellende Matrix bzgl. X zuordnet.
Ich kenne Eure Notationen nicht, aber aus dem was Du schreibst reime ich mir folgendes zusammen: [mm] M_X(\alpha):=M_{X,X}(\alpha), [/mm] dh. diejenige Matrix, welche in den Spalten die Bilder der Elemente von X unter der Abildung [mm] \alpha [/mm] in Koordinaten bzgl X stehen hat.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen lieben Dank für Deine Antwort!!!
Nach nochmaligem Überlegen stimme ich Dir zu, es ist also offenbar
[mm] M_X [/mm] = [mm] M_{X,X}.
[/mm]
Deine Erklärung mit den Koordinatenvektoren hat mir geholfen, den Zusammenhang besser zu verstehen.
Dann gilt also für jeden Endomorphismus [mm] \alpha\in [/mm] L(V), daß [mm] M_X(\alpha) [/mm] := [mm] M_{X,X}(\alpha) [/mm] = [mm] M(\sigma_X\alpha\sigma_X^{-1}), [/mm] wobei [mm] \sigma_X [/mm] der Linearkombinationshomomorphismus von [mm] K^n [/mm] nach V bezüglich der Basis X ist.
So müsste es stimmen, oder?
Danke schön!! 
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