Isomorphismus von Fundamentalg < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Petsi |
| Aufgabe | Man beweise: Seien X, Y wegzusammenhängende und lokal wegzusammenhängende
topologische Räume. Dann gilt für die Fundamentalgruppen in einem beliebigen
Punkt z = (x,y) [mm] \in [/mm] X × Y die Beziehung:
[mm] \pi(X [/mm] × Y,z) [mm] \cong \pi(X, [/mm] x) × [mm] \pi(Y, [/mm] y) . |
Also ich habe momentan noch gar keinen Ansatz, wie ich an die Aufgabe rangehen soll!
Könnt ihr mir vllt ein paar Tipps geben?
Vielen Dank schonmal!
Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mo 14.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man beweise: Seien X, Y wegzusammenhängende und lokal
> wegzusammenhängende
> topologische Räume. Dann gilt für die Fundamentalgruppen
> in einem beliebigen
> Punkt z = (x,y) [mm]\in[/mm] X × Y die Beziehung:
> [mm]\pi(X[/mm] × Y,z) [mm]\cong \pi(X,[/mm] x) × [mm]\pi(Y,[/mm] y) .
> Also ich habe momentan noch gar keinen Ansatz, wie ich an
> die Aufgabe rangehen soll!
Gib doch mal eine einfache Abbildung [mm] $\pi(X, [/mm] x) [mm] \times \pi(Y, [/mm] y) [mm] \to \pi(X \times [/mm] Y, z)$ an. Hier gibt's wirklich nicht so viele Moeglichkeiten. Zu dieser zeige, dass sie wohdefiniert ist, ein Gruppenhomomorphismus ist, dass der Kern trivial ist und dass sie surjektiv ist.
Zur Konstruktion: nimm dir einen geschlossenen Weg $f : [0, 1] [mm] \to [/mm] X$ mit $f(0) = f(1) = x$ und einen geschlossenen Weg $g : [0, 1] [mm] \to [/mm] Y$ mit $g(0) = g(1) = y$. Wie kannst du dadraus einen geschlossenen Weg $h : [0, 1] [mm] \to [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ konstruieren mit $h(0) = h(1) = (x, y)$?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:08 Di 15.12.2009 | | Autor: | Petsi |
Ah vielen Dank!
Also ich habe mir jetzt überlegt, mein h so zu wählen:
$h : h(f(t),g(t)) $
Ist das so richtig?
Wie genau zeige ich die wohldefiniertheit?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 17.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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