Isomorphismus nach Faktorraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K und U,W Untervektorräume.
Zeigen Sie, dass im Fall $V = [mm] U\oplus [/mm] W$ (direkte Summe, d.h. V = U+W und $dim(V)=dim(U)+dim(W)$ ) die Abbildung [mm] \phi:W\to V/U:w\to[w] [/mm] ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist. |
Hallo!
Ich bin mir bei einigen Beweisen noch nicht sicher und möchte euch daher bitten, ein strenges Auge darüber zu werfen 
Damit [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus ist, muss es Homomorphismus und bijektiv sein.
Für Homomorphismus muss gelten:
- [mm] $\phi(w_{1}+w_{2}) [/mm] = [mm] \phi(w_{1})+\phi(w_{2})$:
[/mm]
[mm] $\phi(w_{1}+w_{2}) [/mm] = [mm] [w_{1}+w_{2}] [/mm] = [mm] [w_{1}]+[w_{2}] [/mm] = [mm] \phi(w_{1})+\phi(w_{2})$
[/mm]
nach den Vektorraumoperationen in V/U. Ist das wirklich so "leicht", oder habe ich da was vergessen? Dass + und * in V/U wohldefiniert sind, hatte ich schonmal bewiesen.
- [mm] $\phi(\lambda*w) [/mm] = [mm] \lambda*\phi(w)$ [/mm] wäre dann analog...
Für bijektiv muss gelten:
- [mm] \phi [/mm] ist injektiv: Seien [mm] $w_{1},w_{2}\in [/mm] W$ mit [mm] $\phi(w_{1})=\phi(w_{2})$. [/mm] Daraus folgt [mm] [w_{1}]=[w_{2}]. [/mm] Daraus würde jetzt ja im "Normalfall" nicht [mm] w_{1}=w_{2} [/mm] folgen, also muss ich jetzt wahrscheinlich die Voraussetzung anwenden.
Aus [mm] [w_{1}]=[w_{2}] [/mm] folgt [mm] w_{1}\in [w_{2}]:=\{x\in V: x-w_{2}\in U\}, [/mm] also [mm] $w_{1}-w_{2}\in [/mm] U$. Nun ist [mm] w_{1}-w_{2}\in [/mm] W, nach Voraussetzung ist aber [mm] U\cap [/mm] W = [mm] \{o\}. [/mm] Also muss [mm] w_{1}-w_{2}=0 [/mm] sein, d.h. [mm] w_{1}=w_{2}.
[/mm]
- [mm] \phi [/mm] ist surjektiv: Sei [mm] [y]\in [/mm] V/U beliebig. Ich muss zeigen, dass ein [mm] w\in [/mm] W gibt sodass [mm] \phi(w) [/mm] := [w] = [y].
Wenn ich mich nicht irre, ist das Problem, dass x grundsätzlich erstmal in V sein kann.
Dann muss ich zeigen, dass [mm] [y]=\{0\} [/mm] für den Fall dass [mm] y\notin [/mm] W ist und ich somit [mm] y=0\in [/mm] W wählen kann; für [mm] y\in [/mm] W ist es ja klar, weil dann wird y=w gewählt.
Es ist [y] [mm] :=\{x\in V|x-y\in U\}. [/mm] Aber wie genau mache ich jetzt weiter?
Vielen, vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 So 03.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Damit [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist, muss es Homomorphismus
> und bijektiv sein.
>
> Für Homomorphismus muss gelten:
>
> - [mm]\phi(w_{1}+w_{2}) = \phi(w_{1})+\phi(w_{2})[/mm]:
>
> [mm]\phi(w_{1}+w_{2}) = [w_{1}+w_{2}] = [w_{1}]+[w_{2}] = \phi(w_{1})+\phi(w_{2})[/mm]
>
> nach den Vektorraumoperationen in V/U. Ist das wirklich so
> "leicht", oder habe ich da was vergessen? Dass + und * in
> V/U wohldefiniert sind, hatte ich schonmal bewiesen.
>
> - [mm]\phi(\lambda*w) = \lambda*\phi(w)[/mm] wäre dann analog...
Richtig.
> Für bijektiv muss gelten:
>
> - [mm]\phi[/mm] ist injektiv: Seien [mm]w_{1},w_{2}\in W[/mm] mit
> [mm]\phi(w_{1})=\phi(w_{2})[/mm]. Daraus folgt [mm][w_{1}]=[w_{2}].[/mm]
> Daraus würde jetzt ja im "Normalfall" nicht [mm]w_{1}=w_{2}[/mm]
> folgen, also muss ich jetzt wahrscheinlich die
> Voraussetzung anwenden.
>
> Aus [mm][w_{1}]=[w_{2}][/mm] folgt [mm]w_{1}\in [w_{2}]:=\{x\in V: x-w_{2}\in U\},[/mm]
> also [mm]w_{1}-w_{2}\in U[/mm]. Nun ist [mm]w_{1}-w_{2}\in[/mm] W, nach
> Voraussetzung ist aber [mm]U\cap[/mm] W = [mm]\{o\}.[/mm] Also muss
> [mm]w_{1}-w_{2}=0[/mm] sein, d.h. [mm]w_{1}=w_{2}.[/mm]
Richtig, aber es genügt zu zeigen dass der Kern trivial ist. Ist [mm] $\phi(w)=[0] [/mm] für ein [mm]w\in W[/mm], so ist [mm] $w\in [/mm] U$, also wegen [mm] $U\cap W=\{0\}$ [/mm] ist $w=0$.
> - [mm]\phi[/mm] ist surjektiv: Sei [mm][y]\in[/mm] V/U beliebig. Ich muss
> zeigen, dass ein [mm]w\in[/mm] W gibt sodass [mm]\phi(w)[/mm] := [w] = [y].
> Wenn ich mich nicht irre, ist das Problem, dass x
> grundsätzlich erstmal in V sein kann.
> Dann muss ich zeigen, dass [mm][y]=\{0\}[/mm] für den Fall dass
> [mm]y\notin[/mm] W ist und ich somit [mm]y=0\in[/mm] W wählen kann; für
> [mm]y\in[/mm] W ist es ja klar, weil dann wird y=w gewählt.
> Es ist [y] [mm]:=\{x\in V|x-y\in U\}.[/mm] Aber wie genau mache ich
> jetzt weiter?
Sei [mm] $[y]\in [/mm] V/U$. Schreibe $y=u+w$ für gewisse [mm]u\in U[/mm] und [mm]w\in W[/mm]. Dann ist [mm] $\phi(w)=[w]=[y]$, [/mm] denn [mm]y-w=u\in U[/mm].
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo Robert,
danke für deine Hilfe!
Hab's verstanden
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Nevanna |
Eine Frage: Was gilt dann für die Dimension von V/U ?
Entspricht dass dann den Dimensionen von W?
|
|
|
| |
|
Hallo Nevanna,
Es existiert ja ein Isomorphismus zwischen den W und V/U, d.h. W ist isomorph zu V/U. Nach 7.20 der Vorlesung ist dann dim(W) = dim(V/U).
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Nevanna |
Jaaa, ins Skript sollte man schauen...Ich muss wirklich anfangen für die Klausur zu wiederholen, seit Weihnachten ist alles weg -.-
Also, danke!
|
|
|
|
