Isomorphismus, f (hoch -1) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Sa 15.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum der Dimension n über einem Körper K. Sei [mm] v_1,..,v_n [/mm] eine Basis von V. Sei [mm] f:K^n \to V [/mm] definiert durch [mm] f \vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n}=\summe_{i=1}^{n}x_i,v_i [/mm] für alle [mm] \vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n} \in K^n. [/mm]
Sei [mm] v \in V [/mm]. Bestimmen Sie [mm] f^{-1}(v)[/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe folgende Idee für eine inverse Funktion:
[mm] f(\vektor{v_1\\v_2\\.\\v_n}) = v_1x_1 + v_2x_2 + ... + v_nx_n [/mm].
Aber weiter komme ich nicht und ich weiss auch nicht, ob das schon ein falscher Ansatz ist.
Danke, Susanne.
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> Sei V ein Vektorraum der Dimension n über einem Körper K.
> Sei [mm]v_1,..,v_n[/mm] eine Basis von V. Sei [mm]f:K^n \to V[/mm] definiert
> durch [mm]f \vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n}=\summe_{i=1}^{n}x_i,v_i[/mm]
> für alle [mm]\vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n} \in K^n.[/mm]
>
> Sei [mm]v \in V [/mm]. Bestimmen Sie [mm]f^{-1}(v)[/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe folgende Idee für eine inverse Funktion:
> [mm]f(\vektor{v_1\\v_2\\.\\v_n}) = v_1x_1 + v_2x_2 + ... + v_nx_n [/mm].
Hallo,
Deine Idee ist soooooooo übel nicht - nur verkehrtrum.
Wir haben einen Vektorraum V über K, von dem wir wissen, daß [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis ist.
Also gibt es eindeutig bestimmte [mm] x_i\in [/mm] K mit [mm] v=\summe x_iv_i.
[/mm]
Es ist ja
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n}) [/mm] = [mm] x_1v_1 [/mm] + [mm] x_2v_2 [/mm] + ... + [mm] x_nv_n=v,
[/mm]
Gruß v. Angela
und ich denke, daß Du nun weiterkommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 So 16.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
> > Hallo,
> > ich habe folgende Idee für eine inverse Funktion:
> > [mm]f(\vektor{v_1\\v_2\\.\\v_n}) = v_1x_1 + v_2x_2 + ... + v_nx_n [/mm].
>
> Hallo,
>
> Deine Idee ist soooooooo übel nicht - nur verkehrtrum.
>
> Wir haben einen Vektorraum V über K, von dem wir wissen,
> daß [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis ist.
>
> Also gibt es eindeutig bestimmte [mm]x_i\in[/mm] K mit [mm]v=\summe x_iv_i.[/mm]
>
> Es ist ja
>
> [mm]f(\vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n})[/mm] = [mm]x_1v_1[/mm] + [mm]x_2v_2[/mm] + ... +
> [mm]x_nv_n=v,[/mm]
>
Hallo Angela
vielen Dank für Deine Hilfe !
Leider komme ich immer noch nicht weiter.
Ich glaube, ich verstehe ein paar grundlegende Dinge noch nicht so ganz.
Es ist doch so:
- v ist ein Vektor aus V
- [mm] v_1-v_n[/mm] sind bestimmte Vektoren, die eine Basis bilden
Wenn ich z.B eine inverse Funktion von [mm] f(x)=x^2 [/mm] bilde, dann mache ich folgendes:
[mm] y=x^2[/mm] löse ich auf nach [mm] x=\wurzel{y} [/mm] und damit wäre [mm] f^{-1}=\wurzel{x} [/mm].
Wenn ich diesen Sachverhalt auf meine Vektoren ansetze, muss ich irgendwie auf [mm] f(v) = \vektor{x_1\\.\\v_n} [/mm] kommen - stimmt das ?
Und wenn ja, dann wie ?
Vielen Dank, Susanne.
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> > Wir haben einen Vektorraum V über K, von dem wir wissen,
> > daß [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis ist.
> >
> > Also gibt es eindeutig bestimmte [mm]x_i\in[/mm] K mit [mm]v=\summe x_iv_i.[/mm]
>
> >
> > Es ist ja
> >
> > [mm]f(\vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n})[/mm] = [mm]x_1v_1[/mm] + [mm]x_2v_2[/mm] + ... +
> > [mm]x_nv_n=v,[/mm]
> >
> Ich glaube, ich verstehe ein paar grundlegende Dinge noch
> nicht so ganz.
> Es ist doch so:
> - v ist ein Vektor aus V
Ja. Ein beliebiger Vektor aus v, dem Zielraum der Abb. f.
> - [mm]v_1-v_n[/mm] sind bestimmte Vektoren, die eine Basis bilden
Genau, sie sind eine Basis des V.
>
> Wenn ich z.B eine inverse Funktion von [mm]f(x)=x^2[/mm] bilde, dann
> mache ich folgendes:
> [mm]y=x^2[/mm] löse ich auf nach [mm]x=\wurzel{y}[/mm] und damit wäre
> [mm]f^{-1}=\wurzel{x} [/mm].
Naja, das, was Du hier schreibst, ist grenzwertig...
Zu einer Funktion gehört neben der Abbildungsvorschrift immer die Angabe v. Def.- und Wertebereich.
Daß [mm] f(x)=x^2 [/mm] umkehrbar ist, kann man so allgemein nicht sagen, sie ist ja lediglich umkehrbar in dem Bereich, in welchem sie injektiv und surjektiv ist.
Also ist f: [mm] \IR_{\ge 0}\to\IR_{\ge 0}
[/mm]
mit [mm] f(x):=x^2 [/mm] umkehrbar.
Weiter sollte man gründlich zwischen der Funktion und ihrem Funktionswert an einer Stelle unterscheiden. Die Umkehrfunktion für obige Funktion wäre
[mm] g:\IR_{\ge 0}\to\IR_{\ge 0} [/mm] mit
[mm] g(x):=\wurzel{x}.
[/mm]
> Wenn ich diesen Sachverhalt auf meine Vektoren ansetze,
> muss ich irgendwie auf [mm]f(v) = \vektor{x_1\\.\\v_n}[/mm] kommen -
Nein, Du sollst doch [mm] f^{-1}(v) [/mm] angeben, das Ergebnis wäre [mm] \vektor{x_1\\.\\x_n}, [/mm] denn es ist mit [mm] v=\summe x_iv_i
[/mm]
[mm] f(\vektor{x_1\\.\\x_n})=v.
[/mm]
Du könntest also die Umkehrfunktion definieren, indem Du sagst: jedem Vektor v wird durch die Umkehrfunktion sein Koordinatenvektor bzgl. der Basis [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] zugeordnet.
Du müßtest die Wohldefiniertheit zeigen, und daß diese Funktion tatsächlich f umkehrt.
Denkbar (und v. mir bevorzugt) ist allerdings auch dieser Weg, welcher eher mit den Methoden der linearen Algebra arbeitet:
Gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion, dh. ist f bijektiv? (Ja, es gibt.)
Schau Dir hierzu z.B. den Kern v. f an, Du wirst feststellen, daß f injektiv ist. In Kombination mit der Tatsache, daß [mm] K^n [/mm] und V dieselbe Dimension haben, weißt Du, daß f ein Isomorphismus ist,
und somit ist klar, was [mm] f^{-1}(v) [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 16.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
> > > Es ist ja
> > >
> > > [mm]f(\vektor{x_1\\x_2\\.\\x_n})[/mm] = [mm]x_1v_1[/mm] + [mm]x_2v_2[/mm] + ... +
> > > [mm]x_nv_n=v,[/mm]
> > >
>
> > Ich glaube, ich verstehe ein paar grundlegende Dinge noch
> > nicht so ganz.
> > Es ist doch so:
> > - v ist ein Vektor aus V
>
> Ja. Ein beliebiger Vektor aus v, dem Zielraum der Abb. f.
>
Also alle v bilden das Bild ?
> Nein, Du sollst doch [mm]f^{-1}(v)[/mm] angeben, das Ergebnis wäre
> [mm]\vektor{x_1\\.\\x_n},[/mm] denn es ist mit [mm]v=\summe x_iv_i[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{x_1\\.\\x_n})=v.[/mm]
>
> Du könntest also die Umkehrfunktion definieren, indem Du
> sagst: jedem Vektor v wird durch die Umkehrfunktion sein
> Koordinatenvektor bzgl. der Basis [mm](v_1,...,v_n)[/mm]
> zugeordnet.
> Du müßtest die Wohldefiniertheit zeigen, und daß diese
> Funktion tatsächlich f umkehrt.
>
>
> Denkbar (und v. mir bevorzugt) ist allerdings auch dieser
> Weg, welcher eher mit den Methoden der linearen Algebra
> arbeitet:
>
> Gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion, dh. ist f bijektiv?
> (Ja, es gibt.)
>
> Schau Dir hierzu z.B. den Kern v. f an, Du wirst
> feststellen, daß f injektiv ist. In Kombination mit der
> Tatsache, daß [mm]K^n[/mm] und V dieselbe Dimension haben, weißt Du,
> daß f ein Isomorphismus ist,
>
> und somit ist klar, was [mm]f^{-1}(v)[/mm] ist.
NEIN, Hilfe, mir immer noch nicht !
Also, für den Kern(f) müssen alle [mm] x_1=x_2,..x_n=0 [/mm] sein.
Aber was kann ich dann mit der Dimension machen ? Ich weiss auch nicht so richtig, was die Dimension des Kerns ist: Ist die Dimension = 1, weil nur 1 Vektor zum Kern gehört, oder ist die Dimension = n weil ich [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] 0 sein müssen ?
Aber wie ich das drehe und probiere, ich komme immer auf [mm] f^{-1}(v)=f(v) [/mm] ... ?
Liebe Angela, VIELEN DANK !
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Hallo,
wir fangen jetzt mal hinten an:
> Aber wie ich das drehe und probiere, ich komme immer auf
> [mm]f^{-1}(v)=f(v)[/mm] ... ?
Das kann doch gar nicht sein. Es ist doch f(v) gar nicht definiert.
f ist eine Abbildung, die vom [mm] K^n [/mm] in den V abbildet.
Die kannst Du nicht auf ein Element aus V anwenden.
Möglicherweise ahne ich, wie Deine Verwirrung zustande kommt: vielleicht verwechselst Du den Vektor v mit seinem Koordinatenvektor bzgl. der Basis [mm] (v_1, ...,v_n).
[/mm]
Ich will Dir ein kleines Beispiel machen.
Ich nehme an, Du kennst den Vektorraum der reellen Polynome vom Höchstgrad 2.
Eine Basis dieses Vektorraumes ist [mm] B:=(1,x,x^2)
[/mm]
Schauen wir uns nun das Polynom [mm] p=1+2x+3x^2 [/mm] an.
In Koordinaten bzgl. B können wir schreiben p= [mm] \vektor{1 \\ 2\\3}_B, [/mm] was eine Abkürzung für [mm] p=1*1+2*x+3*x^2 [/mm] ist.
Aber natürlich ist das Polynom nicht [mm] =\vektor{1 \\ 2\\3}\in \IR^3.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du ansatzweise verstehst, was ich Dir sagen will - ich bin mir nicht sicher, ob ich mich gerade so geschickt ausdrücke...
Um etwas ähnliches geht es in Deiner Aufgabe: um einen Isomorphismus f zwischen den n-Tupeln und dem (n-dimensionalen) Vektorraum V.
Wir bestimmen jetzt mal den Kern v. f.
Es sei
[mm] f(\vektor{x_1\\\vdots \\ x_n})=0_V=0*v_1+...+0*v_n
[/mm]
==> [mm] x_1*v_1+...+x_n*v_n=0*v_1+...+0*v_n
[/mm]
==> [mm] x_1=x_2=...=x_n=0,
[/mm]
ein Ergebnis, welches Du bereits nanntest:
> Also, für den Kern(f) müssen alle [mm]x_1=x_2,..x_n=0[/mm] sein.
Warum eigentlich müssen die [mm] x_i=0 [/mm] sein? Hast Du eine Begründung auf Lager?
Jedenfalls folgt hieraus, daß der Kern lediglich aus der Null in [mm] K^n [/mm] besteht.
(Damit ist seine Dimension =0)
Also ist f injektiv, ich nehme stark an, daß Ihr diesen Zusammenhang zwischen dem Kern einer Abbildung und der Injektivität hattet.
Nun zu den Dimensionen:
Welche Dimension hat V?
Welche Dimension hat der [mm] K^n?
[/mm]
Wenn Dir klar geworden ist, daß die Dimensionen der beiden Räume gleich sind, kannst Du den Satz
injektiv <==> surjektiv <==> bijektiv verwenden, und hast damit gezeigt, daß f ein Isomorphismus ist.
Da
[mm] \vektor{x_1\\\vdots \\ x_n} [/mm] durch f abgebildet wird auf [mm] x_1v_1+..+x_nv_n,
[/mm]
wird folglich für jeden Vektor [mm] v:=x_1v_1+..+x_nv_n [/mm] durch die Umkehrabbildung v abgebildet auf [mm] \vektor{x_1\\\vdots \\ x_n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 16.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen, vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung !!
Wenn ich das jetzt vielleicht verstanden habe, dann ist [mm] f^{-1}(v)=\vektor{x_1\\.\\x_n} [/mm]
Stimmt das ?
> Ich will Dir ein kleines Beispiel machen.
>
> Ich nehme an, Du kennst den Vektorraum der reellen Polynome
> vom Höchstgrad 2.
>
> Eine Basis dieses Vektorraumes ist [mm]B:=(1,x,x^2)[/mm]
>
> Schauen wir uns nun das Polynom [mm]p=1+2x+3x^2[/mm] an.
>
> In Koordinaten bzgl. B können wir schreiben p= [mm]\vektor{1 \\ 2\\3}_B,[/mm]
> was eine Abkürzung für [mm]p=1*1+2*x+3*x^2[/mm] ist.
>
> Aber natürlich ist das Polynom nicht [mm]=\vektor{1 \\ 2\\3}\in \IR^3.[/mm]
Aber ist es dann der Koordinatenvektor des Polynoms p ?
> ==> [mm]x_1=x_2=...=x_n=0,[/mm]
>
> ein Ergebnis, welches Du bereits nanntest:
>
> > Also, für den Kern(f) müssen alle [mm]x_1=x_2,..x_n=0[/mm] sein.
>
> Warum eigentlich müssen die [mm]x_i=0[/mm] sein? Hast Du eine
> Begründung auf Lager?
[mm] v_1-v_n [/mm] können nicht 0 sein, weil sie als Basis linear unabhängig sein müssen, also bleiben nur die Koeffizienten übrig, die diese Linearkombination auf 0 bringen können.
Ist diese Erklärung ok ?
>
> Jedenfalls folgt hieraus, daß der Kern lediglich aus der
> Null in [mm]K^n[/mm] besteht.
>
> (Damit ist seine Dimension =0)
Das verstehe ich nicht. Wenn ich einen Vektor habe der den Nullvektor durch eine Abbildung erzeugt, dann ist doch die Dimension nicht 0 sondern mindestens 1 - oder ? Was hakt denn da noch bei mir ?
1 Vektor = Dimension 1 ? oder
1 Vektor mit n Elementen = Dimension n ? oder
1 Vektor mit Nullen = Dimension 0 ?
Aber ein wenig klarer sehe ich schon, vielen Dank, Susanne.
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> Wenn ich das jetzt vielleicht verstanden habe, dann ist
> [mm]f^{-1}(v)=\vektor{x_1\\.\\x_n}[/mm]
>
> Stimmt das ?
Ja, wenn v so beschaffen ist, daß [mm] v=\summe x_iv_i.
[/mm]
> > Aber natürlich ist das Polynom nicht [mm]=\vektor{1 \\ 2\\3}\in \IR^3.[/mm]
>
> Aber ist es dann der Koordinatenvektor des Polynoms p ?
Ja. Der Koordinatenvektor von p bzgl der Basis [mm] (1,x,x^2).
[/mm]
>
> > ==> [mm]x_1=x_2=...=x_n=0,[/mm]
> >
> > ein Ergebnis, welches Du bereits nanntest:
> >
> > > Also, für den Kern(f) müssen alle [mm]x_1=x_2,..x_n=0[/mm] sein.
> >
> > Warum eigentlich müssen die [mm]x_i=0[/mm] sein? Hast Du eine
> > Begründung auf Lager?
> [mm]v_1-v_n[/mm] können nicht 0 sein, weil sie als Basis linear
> unabhängig sein müssen, also bleiben nur die Koeffizienten
> übrig, die diese Linearkombination auf 0 bringen können.
> Ist diese Erklärung ok ?
Die lineare Unabhängigkeit ist der Schlüssel.
Aus [mm] \summe x_iv_i=0_V [/mm] folgt wegen der Linearen Unabhängigkeit der [mm] v_i, [/mm] daß die Koeffizienten x-i allesamt =0 sind.
> > Jedenfalls folgt hieraus, daß der Kern lediglich aus der
> > Null in [mm]K^n[/mm] besteht.
> >
> > (Damit ist seine Dimension =0)
> Das verstehe ich nicht. Wenn ich einen Vektor habe der den
> Nullvektor durch eine Abbildung erzeugt, dann ist doch die
> Dimension nicht 0 sondern mindestens 1 - oder ?
Nein. Hier wird der Kern aufgespannt v. Vektor [mm] \vektor{0\\\vdots\\0}, [/mm] und dieser Raum ist per definitionem nulldimensional, denn er enthält nur den Ursprung.
Würde der Kern aufgespannt z.B. v. [mm] \vektor{1\\\vdots\\37}, [/mm] enthielte also alle Vielfachen dieses Vektors, so wäre die Dimension des Kerns =1, denn der Kern enthält alle Punkte der Geraden durch 0 in Richtung [mm] \vektor{1\\\vdots\\37}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 So 16.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
Vielen, vielen Dank für Deine Mühe und Deine tollen Erklärungen !
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