Isomorphismus (aZ,+) und (Z,+) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IZ [/mm] . Zeigen Sie:
Die Gruppe [mm] (a\IZ [/mm] ; +) ist genau dann isomorph zu [mm] (\IZ [/mm] ; +), wenn a [mm] \not= [/mm] 0 ist. (Es kann also insbesondere vorkommen, dass eine echte Untergruppe H von G selbst wieder isomorph zu G ist.) |
Hallo,
ich weiß, dass die beiden Gruppen isomorph sein müssen, da es ja eine Bijektion zwischen ihnen geben muss: Jedem Element aus [mm] a\IZ [/mm] wird genau ein Element aus [mm] \IZ [/mm] zugeordnet.
Für a = 0 gibt es außerdem keine Bijektion, da dann jedem Element aus [mm] a\IZ [/mm] die 0 zugeordnet werden würde.
Doch wie kann ich das mathematisch korrekt formulieren und stimmt meine Annahme als Antwort für die Frage überhaupt?
Vielen Dank im Voraus :)
|
|
| |
|
[mm]\in \IZ[/mm] . Zeigen Sie:
> Die Gruppe [mm](a\IZ[/mm] ; +) ist genau dann isomorph zu [mm](\IZ[/mm] ;
> +), wenn a [mm]\not=[/mm] 0 ist. (Es kann also insbesondere
> vorkommen, dass eine echte Untergruppe H von G selbst
> wieder isomorph zu G ist.)
>
> Hallo,
>
> ich weiß, dass die beiden Gruppen isomorph sein müssen,
> da es ja eine Bijektion zwischen ihnen geben muss: Jedem
> Element aus [mm]a\IZ[/mm] wird genau ein Element aus [mm]\IZ[/mm]
> zugeordnet.
> Für a = 0 gibt es außerdem keine Bijektion, da dann
> jedem Element aus [mm]a\IZ[/mm] die 0 zugeordnet werden würde.
> Doch wie kann ich das mathematisch korrekt formulieren und
> stimmt meine Annahme als Antwort für die Frage
> überhaupt?
Hallo,
Deine Gedanken klingen durchaus richtig.
für a=0 kannst Du ja sehr schnell damit argumentieren, daß die Menge [mm] 0\IZ [/mm] nur ein Element enthält, es also offensichtlich keine Bujektion auf [mm] \IZ [/mm] geben kann.
Betrachten wir jetzt mal den Fall [mm] a\not=0.
[/mm]
Du solltest jetzt einfach die Abbildung angeben und dann zeigen, daß sie wirklich ein Gruppenisomorphismus ist.
Sei also [mm] \phi: a\IZ \to \IZ.
[/mm]
Jedes Element [mm] x\in a\IZ [/mm] kann man ja schreiben als x=az mit [mm] z\in \IZ.
[/mm]
Nun definiere: [mm] \phi(x):= [/mm] ??? fürx=az,
und rechne alle Eigenschaften vor.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Also ich habe jetzt f: [mm] a\IZ \to \IZ [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{x}{a} [/mm] weil wenn ich durch a teile komme ich ja wieder auf z. Aber welche Eigenschaften soll ich damit vorrechnen und ist die Funktion so richtig?
|
|
|
| |
|
> Also ich habe jetzt f: [mm]a\IZ \to \IZ[/mm] mit f(x) = [mm]\bruch{x}{a}[/mm]
> weil wenn ich durch a teile komme ich ja wieder auf z. Aber
> welche Eigenschaften soll ich damit vorrechnen und ist die
> Funktion so richtig?
Hallo,
das ist so schon richtig, aber ich würde, weil man jedes Element aus [mm] a\IZ [/mm] ja als az mit [mm] z\in \IZ [/mm] schrieben kann, lieber gleich schreiben
[mm] \phi(x):=z [/mm] für x=az.
Vorrechnen mußt Du injektiv, surjektiv und Gruppenhomomorphismus.
Für "injektiv" ist zu zeigen: Sofern [mm] \phi(x)=\phi(y), [/mm] folgt x=y.
Seien also [mm] x:=az_1 [/mm] und [mm] y=az_2 [/mm] aus [mm] a\IZ [/mm] und [mm] z_1=phi(x)=\phi(y)=z_2.
[/mm]
dann ist [mm] x=az_1=az_2=y, [/mm] also ist die Funktion injektiv.
Huch, jetzt hab' ich's ja selbstgemacht. Egal. Surjektiv machst Du.
Für "surjektiv" mußt Du zu jedem Element [mm] z\in\IZ [/mm] eins aus [mm] a\IZ [/mm] angeben, welches darauf abgebildet wird. Das ist einfach.
Und dazu, was für "Gruppenhomomorphismus " zu zeigen ist, befragst Du erstmal Deine Unterlagen. Aufschluß gibt die Definition.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Hilfe!
Hier noch der Beweis zur Surjektivität und das mit dem Homomorphismus muss ich mir nochmals anschauen:
Seien x = [mm] az_{1}, [/mm] y = [mm] z_{1}
[/mm]
Dann ist f(x) = [mm] \bruch{az_{1}}{a} [/mm] = [mm] z_{1} [/mm] = y
Daraus folgt Surjektivität.
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Hier noch der Beweis zur Surjektivität und das mit dem
> Homomorphismus muss ich mir nochmals anschauen:
>
> Seien x = [mm]az_{1},[/mm] y = [mm]z_{1}[/mm]
Hallo,
die erste zeile mußt Du anders formulieren:
Sei [mm] z_1\in \IZ. [/mm] Mit [mm] x:=az_1 [/mm] gilt:
> Dann ist f(x) = [mm]\bruch{az_{1}}{a}[/mm] = [mm]z_{1}[/mm] = y
> Daraus folgt Surjektivität.
LG Angela
|
|
|
|
