Isomorphismus Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 27.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die Menge aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3, d.h. aller Funktionen p: [mm] \IR \to \IR [/mm] der Gestalt
p(x) = [mm] \summe_{i=0}^{3} a_{k}x^{k} [/mm] a0,...a3 [mm] \in \IR
[/mm]
einen Untervektorraum U im Vektorraum V aller Funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] bildet.
b) Finden Sie einen Isomorphismus U [mm] \cong \IR^{n} [/mm] für ein geeignetes n.
c) Überprüfen Sie, dass die Ableitung eine lineare Abbildung D : U [mm] \to [/mm] U definiert.
d) Identifizieren Sie U und [mm] \IR^{n} [/mm] it dem Isomorphismus aus (b) und bestimmen Sie die Matrix von D: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] |
a und c habe ich bereits abgearbeitet, bei b war meine Überlegung folgendermaßen. Ich kann ein Polynom vom Grad 3 in Vektorschreibweise darstellen:
[mm] \vektor{a_{3} x^{3} \\ a_{2}x^{2} \\ a_{1}x \\ a_{0}}
[/mm]
und von diesem Vektor muss ich auf einen Vektor der Form (a1,a2,a3,a4) kommen, wobei alle a's [mm] \in \IR [/mm] sein müssen, also einen Isomorphismus in [mm] \\IR^{4} [/mm] finden.
Dies würde durch die Abbildung [mm] \vektor{\wurzel[3]{x}\\ \wurzel{x} \\ \bruch{1}{x} \\ 1}
[/mm]
geschehen, da alle Bildvektoren nun [mm] \vektor{a_{3} \\ a_{2} \\ a_{1}\\ a_{0}} [/mm] hätten. Ist das bis hierhin richtig oder vollkommener Stuss?
Wenn es stimmt, muss ich dann noch die Bijektivität und Linearität nachweisen? Und wie gehe ich dann bei Aufgabe d) vor?
Vielen Dank im Voraus für Tipps und Hilfe 
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> a) Zeigen Sie, dass die Menge aller Polynome vom Grad [mm]\le[/mm]
> 3, d.h. aller Funktionen p: [mm]\IR \to \IR[/mm] der Gestalt
>
> p(x) = [mm]\summe_{i=0}^{3} a_{k}x^{k}[/mm] a0,...a3 [mm]\in \IR[/mm]
>
> einen Untervektorraum U im Vektorraum V aller Funktionen f:
> [mm]\IR \to \IR[/mm] bildet.
>
> b) Finden Sie einen Isomorphismus U [mm]\cong \IR^{n}[/mm] für ein
> geeignetes n.
> c) Überprüfen Sie, dass die Ableitung eine lineare
> Abbildung D : U [mm]\to[/mm] U definiert.
> d) Identifizieren Sie U und [mm]\IR^{n}[/mm] it dem Isomorphismus
> aus (b) und bestimmen Sie die Matrix von D: [mm]\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm]
>
> a und c habe ich bereits abgearbeitet, bei b war meine
> Überlegung folgendermaßen. Ich kann ein Polynom vom Grad
> 3 in Vektorschreibweise darstellen:
>
> [mm]\vektor{a_{3} x^{3} \\
a_{2}x^{2} \\
a_{1}x \\
a_{0}}[/mm]
(*)
>
> und von diesem Vektor muss ich auf einen Vektor der Form
> (a1,a2,a3,a4) kommen, wobei alle a's [mm]\in \IR[/mm] sein müssen,
(**)
> also einen Isomorphismus in [mm]\\
IR^{4}[/mm] finden.
Bis hierher stimmt die Überlegung
>
> Dies würde durch die Abbildung [mm]\vektor{\wurzel[3]{x}\\
\wurzel{x} \\
\bruch{1}{x} \\
1}[/mm]
Das wäre falsch, dass bildet weder (*) auf (**) ab noch ist es ein Polynom
>
> geschehen, da alle Bildvektoren nun [mm]\vektor{a_{3} \\
a_{2} \\
a_{1}\\
a_{0}}[/mm]
> hätten. Ist das bis hierhin richtig oder vollkommener
> Stuss?
Betrachte
[mm]f(\sum_{i=0}^{3}{a_iX^i})=(a_0,a_1,a_2,a_4)[/mm]
das ist doch das, was du wolltest und das stimmt auch. Ebentuell musst du noch sagen, dass du x auf (0,1,0,0) , [mm] $x^2$ [/mm] auf (0,0,1,0) schickst.
>
> Wenn es stimmt, muss ich dann noch die Bijektivität und
> Linearität nachweisen?
Du musst jeden überzeugen können, dass es ein Isomorphismus ist. Was musst du zeigen?
> Und wie gehe ich dann bei Aufgabe
Bei der c) handelt es sich um die Ableitung der Polynome. Dort
> d) vor?
Erst einmal c), dass andere siehst du dann direkt.
>
> Vielen Dank im Voraus für Tipps und Hilfe
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