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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Gioa |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, es gilt (R6,+) isomorph (R9*,x) also die prime Restklassen R9. |
Die Restklassen und Ordnungstafeln habe ich. Nun muss ich ja die Homomorphie überprüfen. Dabei erhalte ich Elemtene, die nicht in der Ordnungstafel von (R9*,x) vorkommen, wie beispielsweise Homomorphismus (1+2) = Homomorphis von 3. Aber 3 ist nicht in der Ordnungstafel der (R9*,x). Existiert somit kein Homomorphismus?
Wie kann ich das kürzer bestimmen?
Ich habe diese Frage nirgends woanders gestellt.
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Hallo,
Ich vermute wir sprechen von Restklassen von [mm] \IZ
[/mm]
>Nun muss ich
> ja die Homomorphie überprüfen.
Meinst Du die Isomorphie?
> Dabei erhalte ich
> Elemtene, die nicht in der Ordnungstafel von (R9*,x)
> vorkommen,
Hier täuscht du dich
> wie beispielsweise Homomorphismus (1+2) =
> Homomorphis von 3. Aber 3 ist nicht in der Ordnungstafel
> der (R9*,x).
Das ist auch nicht notwendig. Du schreibst ja selbst Homomorphie von
>Existiert somit kein Homomorphismus?
> Wie kann ich das kürzer bestimmen?
Vielleicht so: Überlege dir die Ordnung der beiden Gruppen. Jede hat ein erzeugendes Element. Findest du sie? Damit kannst du die Isomorphie schnell zeigen.
Gruß
korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Gioa |
Also ich hab ja 2 Möglichkeiten für bijektive Zuordnungen von (R6,+) nach (R9*,x):
0 -> 1 1 -> 2 2 -> 4 3 -> 8 4 -> 7 5 -> 5
oder
0 -> 1 1 -> 5 2 -> 7 3 -> 8 4 -> 4 5 -> 2
Somit könnten diese beiden Isomorphismen sein. Da ich ja aus Aufgabe weiß, dass die beiden bijektive Abbildungen sind, muss ich nur noch Homomorphiegleichung zeigen. und das dachte ich in meinem ersten Post. Da ich in (R9*,x) kein HM (3) habe, gibt es keinen Homo und die zweite Zuordnung wäre richtig.
Bezüglich deines Tipps: mein Prof hat in den letzten 2 Minuten angeschrieben:
i x g = g'^i also g aus (R6,+) und g' aus (R9*,x)
Doch verstanden habe ich das nicht so.
Vielen Dank für die Mühe und lg
Mia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, nehmen wir mal deine erste Abbildung.
Diese ist bijektiv und geht von [mm] $(R_6, [/mm] +)$ nach [mm] $(R_9, \cdot)$. [/mm] Es ist egal, dass in [mm] $(R_9, \cdot)$ [/mm] keine 3 vorkommt. Du hast in [mm] $(R_6, [/mm] +)$ 6 Elemente und in [mm] $(R_9, \cdot)$ [/mm] auch. Deine beiden Abbildungen sind Bijektionen. Alles ok.
Falls [mm] A=\{5,6,7\} [/mm] und [mm] B=\{1,2,3\} [/mm] und du [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ mit $f(5)=2$, $f(6)=1$ und $f(7)=3$ anguckst, dann ist $f$ ja auch bijektiv, obwohl weder $5$, $6$ noch $7$ in $B$ sind.
Jetzt brauchst du noch die Homomorphismuseigenschaft. Dafür musst du [mm] \varphi(a+b)=\varphi(a)*\varphi(b) [/mm] zeigen für alle [mm] $a,b\in(R_6, [/mm] +)$. Du könntest nun einfach alle Paare durchprobieren. Da deine Gruppen kommutativ sind, hält sich der Aufwand dafür ins Grenzen (ca. 10 Paare zu prüfen). Damit schaffst du das sicher!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Gioa |
Das heißt also das ich Homomorphismus (1+2) = Homomorphis (3) nicht angeben muss? Aber das muss doch gehen. :( Sonst kapier ich das nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Teufel |
Ok also sein H deeine obere Abbildung.
Dann ist H(1+2)=H(3)=8, wie du doch angegeben hast (3 --> 8).
Jetzt rechnest du H(1)*H(2) aus und guckst, ob das gleiche wie H(1+2)=H(3) rauskommt.
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Hallo,
du gehst nicht auf meinen Tipp mit den erzeugenden Elementen ein.
Ich denke dein Prof meint dasselbe. Etwas ausführlicher:
ist g ein Element in der additiv geschriebenen Gruppe und g´ sein Bild unter dem Homomorphismus f, also f(g)=g´, so gilt (Homomorphieeigenschaft):
f(nxg)=f(g+........+g)=g´^n. Als Potenz geschrieben, weil die zweite Gruppe multiplikativ geschrieben wird.
Noch eine Ergänzung: Sollst du zeigen, dass 2 Gruppen isomorph sind, musst du nur zeigen, dass es einen Isomorphismus gib; ihn aber nicht explizit angeben.
Gruß
korbinian
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