Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 26.09.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Man bestimme für jeden der folgenden Fälle, ob G zum Produkt der Untergruppen H und isomorph ist. (Isomorphismus explizit angeben, falls er existiert.)
a) G = [mm] \IR^{*}, [/mm] H = { [mm] \pm1 [/mm] }, K = positive reelle Zahlen
b) G = {invertierbare obere Dreiecksmatrizen} [mm] \subset GL_{2}(\IR)
[/mm]
H = {invertierbare Diagonalmatrizen} [mm] \subset GL_{2}(\IR)
[/mm]
K = {obere Dreiecksmatrizen mit Diagonaleinträgen 1} [mm] \subset GL_{2}(\IR)
[/mm]
c) G = [mm] \IC^{*} [/mm] und H = Einheitskreis, K = {positive reelle Zahlen} |
Also ich weiss schon, was z.B G = {invertierbare obere Dreiecksmatrizen} [mm] \subset GL_{2}(\IR) [/mm] heisst.
Also, dass die invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eine Teilmenge aller invertierbaren 2x2 Matrizen sind...
Ich verstehe aber die Aufgabenstellung überhaupt nicht.
Muss ich jetzt jeweils das Produkt von H und K bilden und schauen, ob G dazu isomorph ist?
Und wie mache ich das?
Und die Definition von Isomorphismus ist mir nicht so geheuer...
Wäre sehr lieb, wenn mir das jemand anhand eines Beispiels erklären kann, bzw. zeigen kann, wie dies geht.
Und bitte so einfach wie möglich. Vielen Dank mfg :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mi 26.09.2012 | | Autor: | unibasel |
Niemand eine Idee vielleicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Do 27.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Man bestimme für jeden der folgenden Fälle, ob G zum
> Produkt der Untergruppen H und isomorph ist.
> (Isomorphismus explizit angeben, falls er existiert.)
> a) $G = [mm] \IR^{*}$, [/mm] $H = [mm] \{ \pm 1\}$, [/mm] K = positive reelle Zahlen
> b) G = {invertierbare obere Dreiecksmatrizen} [mm]\subset GL_{2}(\IR)[/mm]
>
> H = {invertierbare Diagonalmatrizen} [mm]\subset GL_{2}(\IR)[/mm]
> K
> = {obere Dreiecksmatrizen mit Diagonaleinträgen 1} [mm]\subset GL_{2}(\IR)[/mm]
>
> c) G = [mm]\IC^{*}[/mm] und H = Einheitskreis, K = {positive reelle
> Zahlen}
> Also ich weiss schon, was z.B G = {invertierbare obere
> Dreiecksmatrizen} [mm]\subset GL_{2}(\IR)[/mm] heisst.
> Also, dass die invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eine
> Teilmenge aller invertierbaren 2x2 Matrizen sind...
>
> Ich verstehe aber die Aufgabenstellung überhaupt nicht.
> Muss ich jetzt jeweils das Produkt von H und K bilden und
> schauen, ob G dazu isomorph ist?
Genau richtig.
> Und wie mache ich das?
>
> Und die Definition von Isomorphismus ist mir nicht so
> geheuer...
>
> Wäre sehr lieb, wenn mir das jemand anhand eines Beispiels
> erklären kann, bzw. zeigen kann, wie dies geht.
> Und bitte so einfach wie möglich. Vielen Dank mfg :)
Die Aufgabenstellung waere einfacher, wenn man nur untersuchen muesste, ob $G$ gleich dem direkten Produkt der Untergruppen $H$ und $K$ ist; besonders in den Faellen, in denen die Isomorphie nicht gegeben ist.
Also: Mache Dir die Definition des direkten Produktes klar; die Gruppenoperation ist komponentenweise erklaert. Isomoprhismus bedeutet einen bijektiven Homomorphismus, also eine Abbildung [mm] $\phi$, [/mm] die drei Bedingungen erfuellen muss: 1) sie ist injektiv 2) sie ist surjektiv und 3) [mm] $(xy)\phi= (x\phi)(y\phi)$, [/mm] wobei links die Gruppenoperation der einen und rechts die der anderen Gruppe gemeint ist. Ob man [mm] $\phi:G\to H\times [/mm] K$ oder besser [mm] $\phi:H\times K\to [/mm] G$ definiert, kann man allgemein nicht sagen.
Beispiel: $G= [mm] \IR\backslash \{0\}$, $K=(\IR,+)$ [/mm] und $H= [mm] \{-1,1\}$. [/mm] Die Verknuepfung in [mm] $K\times [/mm] H$ ist definiert durch [mm] $(r,\eps)(s,\delta):= [/mm] (r+s, [mm] \eps\delta)$, [/mm] wobei [mm] $r,s\in [/mm] K$, [mm] $\eps, \delta\in [/mm] H$. Durch Eingebung scheint mir die Abbildung [mm] $\phi:G\to K\times [/mm] H$, [mm] $x\mapsto [/mm] (ln(|x|), sgn(x))$ das geforderte zu leisten: Ich weise nur die Homomorphismuseigenschaft nach: Seien [mm] $x,y\in [/mm] G$. Dann ist [mm] $(xy)\phi= [/mm] (ln(|xy|), sgn(xy))= (ln|x|+ ln|y|, sgn(x)sgn(y))= (ln|x|, sgn(x))(ln|y|, sgn(y))= [mm] (x\phi)(y\phi)$. [/mm]
Ich hoffe, der Text kommt lesbare daher, denn in der Vorschau ist das nicht der Fall, aber ich finde keinen Fehler in der Eingabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 27.09.2012 | | Autor: | unibasel |
Vielen Dank für die Mühe.
Habe es einigermassen verstanden.
Nur frage ich mich:
Hast du die Abbildung einfach so gewählt? Also irgendein Beispiel? Und wieso gerade sgn (signum?)?
Danke nochmals!
mfg :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Fr 28.09.2012 | | Autor: | hippias |
Eine voellig beliebig gewaehlte Funktion wird sicher nicht zum Erfolg fuehren, man muss schon ueberlegen bzw. einige wichtige Isomophismen kennen. Tatsaechlich ist mein Beispiel im Grunde Deine Aufgabe 1, denn [mm] $(\IR_{>0}, \cdot)\cong (\IR, [/mm] +)$ vermoege der $ln$-Funktion.
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