Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 30.09.2007 | | Autor: | studi81 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \IF_{2} [/mm] der Körper mit 2 Elementen. Man bestimme alle Elemente von G = GL(2, [mm] \IF_{2}) [/mm] und gebe einen Isomorphismus von G auf S3 an. |
Vorüberlegung
[mm] \IF_{2} [/mm] = {0,1}
GL (2, [mm] \IF_{2} [/mm] ) = { A [mm] \in [/mm] M2 [mm] \IF_{2} [/mm] es gibt [mm] A^{-1}} [/mm] ist die Menge der invertierbaren 2*2 Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IF_{2}
[/mm]
S3 besteht aus 6 Elementen. Bei der Menge M={0,1,2} besteht S3 aus der Elementen 012, 021, 120, 102, 201, 210
GL = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0}, \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1}, \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0}, \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1}
[/mm]
Wenn es richtig ist dann habe ich die 6 Elemente von GL schon bestimmt, wie soll ich ein Isomorphismus von Gl auf S3 angeben bzw wie muss ich es zeigen. Isomorphismus ist ja eine bijektive Abbildung, da GL und S3 6 Elemente haben muss eine Abbildung von GL nach S3 bijektiv. Reicht es wenn ist den Satz als Antwort schreibe?
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> Es sei [mm]\IF_{2}[/mm] der Körper mit 2 Elementen. Man
> bestimme alle Elemente von G = GL(2, [mm]\IF_{2})[/mm] und gebe
> einen Isomorphismus von G auf S3 an.
> Vorüberlegung
> [mm]\IF_{2}[/mm] = {0,1}
> GL (2, [mm]\IF_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) = { A [mm]\in[/mm] M2 [mm]\IF_{2}[/mm] es gibt
> [mm]A^{-1}}[/mm] ist die Menge der invertierbaren 2*2
> Matrizen mit Einträgen aus [mm]\IF_{2}[/mm]
> S3 besteht aus 6 Elementen. Bei der Menge M={0,1,2}
> besteht S3 aus der Elementen 012, 021, 120, 102, 201, 210
> GL = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0}, \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1}, \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0}, \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> Wenn es richtig ist dann habe ich die 6 Elemente von GL
> schon bestimmt, wie soll ich ein Isomorphismus von Gl auf
> S3 angeben bzw wie muss ich es zeigen. Isomorphismus ist ja
> eine bijektive Abbildung, da GL und S3 6 Elemente haben
> muss eine Abbildung von GL nach S3 bijektiv. Reicht es
> wenn ist den Satz als Antwort schreibe?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, dieser Satz reicht keinesfalls. Denn er stimmt nicht.
Es gibt ja (bis auf Isomorphie) genau zwei verschiedene Gruppen der Ordnung 6, die zyklische und eben [mm] S_3.
[/mm]
Damit steht das Programm: wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß Deine invertierbaren Matrizen keine zyklische Gruppe bilden, bist Du fertig, denn dann können sie nicht anders, als isomorph zu [mm] S_3 [/mm] zu sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 30.09.2007 | | Autor: | studi81 |
Danke aber wie zeige ich das? Es ist zwar wenn man die matrizen anschaut klar, das sie keine zyklische gruppe bilden können, aber wie zeigt man das?
Kann ich einfach schreiben es gibt keinnen Erzeuger, bzw die Gruppe der Matrizen kann nicht durch einen einzigen elemen gebildet werden, also ist sie nicht zyklisch?
Oder wie sons zeigt man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 30.09.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke aber wie zeige ich das? Es ist zwar wenn man die
> matrizen anschaut klar, das sie keine zyklische gruppe
> bilden können, aber wie zeigt man das?
Was fuer Eigenschaften hat denn [mm] $S_3$, [/mm] die [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] nicht hat?
* Es ist nicht zyklisch, d.h. kein Element hat die Ordnung 6 (nur 1, 2, 3 kommen in Frage). Du kannst also `von Hand' von jedem Element die Ordnung bestimmen. Das ist natuerlich ziemlich aufwendig...
* Es ist nicht kommutativ. Wenn du also zwei Matrizen angibst, die nicht miteinander kommutieren, ist es klar, dass die Gruppe nicht zyklisch sein kann, da zyklische Gruppen immer kommutativ sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:16 Mi 03.10.2007 | | Autor: | studi81 |
VIELEN DANK für die Schnelle Hilfe!
Habe aber noch eine Frage an Angela, woher weiß man dass "Es ja (bis auf Isomorphie) genau zwei verschiedene Gruppen der Ordnung 6 gibt, die zyklische und eben S3" Meine Tutorin hat mich nämlich gefragt woher ich es habe?
Jemand anderer darf natürlich auch diese Frage beantworten 
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> VIELEN DANK für die Schnelle Hilfe!
> Habe aber noch eine Frage an Angela, woher weiß man dass
> "Es ja (bis auf Isomorphie) genau zwei verschiedene Gruppen
> der Ordnung 6 gibt, die zyklische und eben S3" Meine
> Tutorin hat mich nämlich gefragt woher ich es habe?
Hallo,
woher Du es hast, weißt nur Du...
Man lernt es in der Algebra-Vorlesung oder zeigt es in der Übung.
Und natürlich gibt es welche die das völlig selbständig machen - einige von diesen lassen sich durch ein Buch inspirieren.
Ich habe erst jetzt gesehen, daß Du unter "Lineare Algebra" gepostet hast.
Falls Dir kaum "Apparat" zur Verfügung steht, weil Du ganz am Studienbeginn bist, wirst Du einen Isomorphismus angeben müssen/sollen.
Du kannst das tun, indem Du sagst, welches Element welchem zugeordnet wird, und dann die Isomorphismuseigenschaften nachweist.
Tip: Du kennst vielleicht die erzeugenden Elemente von [mm] S_3.
[/mm]
Suche nun die erzeugenden Elemente von Deiner Matrizengruppe und ordne sie denen von [mm] S_3 [/mm] zu.
Gruß v. Angela
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