Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:41 Mo 11.12.2006 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen isomorph zur additiven Grppe aller reellen Zahlen ist. |
Hallo Leute!
Ich hab also zwei Gruppen [mm]\left( \IR^+,* \right)[/mm] und [mm]\left(\IR,+ \right)[/mm] für die [mm]\left( \IR^+,* \right) \cong \left(\IR,+ \right)[/mm] zu zeigen ist und muss zeigen, dass eine Abbildung [mm]f: \IR^+ \to \IR[/mm] bijektiv ist, ein Homomorphismus ist und [mm]f^{-1}[/mm] auch ein Homomorphismus ist.
Ich hab zur Veranschaulichung mal zwei Gruppentafeln aufgestellt mit den Elementen 1,2,3,4,5,6 für die multiplikative Gruppe und 0,1,-1,2,-2,3 für die additive Gruppe.
Wie muss ich jetzt vorgehen, bzw. wie sieht die Zuordnungsvorschrift aus?
Bitte um Hilfe.
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mo 11.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Man zeige, dass die multiplikative Gruppe der positiven
> reellen Zahlen isomorph zur additiven Grppe aller reellen
> Zahlen ist.
> Hallo Leute!
>
> Ich hab also zwei Gruppen [mm]\left( \IR^+,* \right)[/mm] und
> [mm]\left(\IR,+ \right)[/mm] für die [mm]\left( \IR^+,* \right) \cong \left(\IR,+ \right)[/mm]
> zu zeigen ist und muss zeigen, dass eine Abbildung [mm]f: \IR^+ \to \IR[/mm]
> bijektiv ist, ein Homomorphismus ist und [mm]f^{-1}[/mm] auch ein
> Homomorphismus ist.
Wenn f bijektiv ist und ein Homomorphismus, dann ist [mm] f^{-1} [/mm] automatisch auch ein bijektiver Homomorphismus.
> Ich hab zur Veranschaulichung mal zwei Gruppentafeln
> aufgestellt mit den Elementen 1,2,3,4,5,6 für die
> multiplikative Gruppe und 0,1,-1,2,-2,3 für die additive
> Gruppe.
Ich glaube nicht, daß dich das so richtig weitergebracht hat.
> Wie muss ich jetzt vorgehen, bzw. wie sieht die
> Zuordnungsvorschrift aus?
Ich nenne hier mal nur das Stichwort 'Logarithmus'. Wenn dir das in der Schule nicht untergekommen ist, was mich gar nicht wundern würde, wird es jetzt höchste Zeit, daß du dich damit befaßt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:15 Mo 11.12.2006 | | Autor: | darwin |
Danke für die schnelle Reaktion.
Dass aus der Bijektivität folgt das [mm]f^{-1}[/mm] ein Homomorphismus ist sehe ich ein. Das mit dem Logarithmus verwirrt mich allerdings.
Kann mir jemand erklären, was das in diesem fall bedeutet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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