Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 27.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
(a) Sei V ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum und f [mm] \in [/mm] Hom(V,V). Zeigen Sie: Wenn es ein g [mm] \in [/mm] Hom(V,V) gibt mit f [mm] \circ [/mm] g= [mm] Id_{V}, [/mm] dann sit f ein Isomorphismus und [mm] g=f^{-1}.
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass die Aussage im Teil (a) für den unendlich-dimensionalen K-Vektorraum V = Abb [mm] (\IN, [/mm] K) falsch ist.
Bei (a) habe ich bisher Folgendes:
g [mm] \in [/mm] Hom (V,V), also g: [mm] V\to [/mm] V und f [mm] \in [/mm] Hom (V,V), also f: V [mm] \to [/mm] V
f [mm] \circ [/mm] g = f (g(x)) = f(V) = V, also [mm] Id_{V}
[/mm]
Wie kann ich jetzt denn genau zeigen, dass f ein Isomorphismus, also bijektiv ist? Bijektiv ist eine Abbildung, wenn sie eine Umkehrabbildung hat... die Umkehrabbildung ist hier doch g, da f [mm] \circ [/mm] g = [mm] Id_{V}, [/mm] oder? Weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Ich darf, ja das zu Zeigende nicht verwenden...
[mm] g=f^{-1} [/mm] beweise ich, glaube ich, indem ich zeige, dass [mm] f^{-1} [/mm] (was Bijektivität bedeutet) auch linear ist.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen.
Zu (b) kann ich leider auch nichts sagen, weil ich (a) ja noch nicht einmal verstanden habe;(....
Liebe Grüße und Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 27.11.2005 | | Autor: | felixf |
> (a) Sei V ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum und f [mm]\in[/mm]
> Hom(V,V). Zeigen Sie: Wenn es ein g [mm]\in[/mm] Hom(V,V) gibt mit f
> [mm]\circ[/mm] g= [mm]Id_{V},[/mm] dann sit f ein Isomorphismus und
> [mm]g=f^{-1}.[/mm]
>
> (b) Zeigen Sie, dass die Aussage im Teil (a) für den
> unendlich-dimensionalen K-Vektorraum V = Abb [mm](\IN,[/mm] K)
> falsch ist.
>
> Bei (a) habe ich bisher Folgendes:
>
> g [mm]\in[/mm] Hom (V,V), also g: [mm]V\to[/mm] V und f [mm]\in[/mm] Hom (V,V),
> also f: V [mm]\to[/mm] V
> f [mm]\circ[/mm] g = f (g(x)) = f(V) = V, also [mm]Id_{V}[/mm]
Abbildung (f [mm] \circ [/mm] g) = Vektor (f(g(x))) = Vektorraum (V)? So solltest du das auf keinen Fall aufschreiben!
> Wie kann ich jetzt denn genau zeigen, dass f ein
> Isomorphismus, also bijektiv ist? Bijektiv ist eine
> Abbildung, wenn sie eine Umkehrabbildung hat... die
> Umkehrabbildung ist hier doch g, da f [mm]\circ[/mm] g = [mm]Id_{V},[/mm]
> oder?
Nein, es waer eine Umkehrabbildung wenn auch g [mm] \circ [/mm] f = [mm] Id_V [/mm] ist. Das ist hier aber nicht gegeben (bzw. muss erst gezeigt werden).
Was du machen kannst ist folgendes zu benutzen: Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, so ist ein Endomorphismus V --> V genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist.
So. Und wenn f nun bijektiv ist und f [mm] \circ [/mm] g = [mm] Id_V [/mm] ist, dann muss g = [mm] f^{-1} [/mm] sein, das kannst du sehr einfach nachrechnen.
> [mm]g=f^{-1}[/mm] beweise ich, glaube ich, indem ich zeige, dass
> [mm]f^{-1}[/mm] (was Bijektivität bedeutet) auch linear ist.
Bevor du zeigen kannst, dass es linear ist, musst du zeigen das es existiert, also dass f bijektiv ist!
> Zu (b) kann ich leider auch nichts sagen, weil ich (a) ja
> noch nicht einmal verstanden habe;(....
Wenn du die Aufgabenstellung verstanden hast, hier ein Hinweis: Es gibt eine injektive Abbildung [mm] \IN \to \IN [/mm] welche injektiv, aber nicht surjektiv ist. Faellt dir eine ein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort. So richtig voran komme ich leider aber immernoch nicht;(.
> > g [mm]\in[/mm] Hom (V,V), also g: [mm]V\to[/mm] V und f [mm]\in[/mm] Hom (V,V),
> > also f: V [mm]\to[/mm] V
> > f [mm]\circ[/mm] g = f (g(x)) = f(V) = V, also [mm]Id_{V}[/mm]
Wie kann ich das denn anders schreiben?? Es handelt sich hierbei doch dann um einen Vektorraum... aber wie schreibt man das sonst?
> Abbildung (f [mm]\circ[/mm] g) = Vektor (f(g(x))) = Vektorraum (V)?
> So solltest du das auf keinen Fall aufschreiben!
> Was du machen kannst ist folgendes zu benutzen: Ist V ein
> endlichdimensionaler Vektorraum, so ist ein Endomorphismus
> V --> V genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist.
Ist ein Endomorphismus in einem endlich-dimensionalen K-Vektorraum gleichzeitig dann immer ein Isomorphismus? Wie soll ich das alles genau anwenden?
Danke im Voraus,
liebe Grüße
Nescio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 28.11.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo Nescio,
> > > g [mm]\in[/mm] Hom (V,V), also g: [mm]V\to[/mm] V und f [mm]\in[/mm] Hom (V,V),
> > > also f: V [mm]\to[/mm] V
> > > f [mm]\circ[/mm] g = f (g(x)) = f(V) = V, also [mm]Id_{V}[/mm]
>
> Wie kann ich das denn anders schreiben?? Es handelt sich
> hierbei doch dann um einen Vektorraum... aber wie schreibt
> man das sonst?
Du schreibst hier zwischen Dinge ein Gleichheitszeichen, die einfach schon deshalb nicht gleich sein koennen, weil sie vollkommen verschiedene Strukturen sind!
Du meinst (vielleicht) sowas wie: [mm] f \circ g[/mm] ist die Funktion [mm]V \to V[/mm] mit [mm] x \mapsto f(g(x))[/mm].
> > Abbildung (f [mm]\circ[/mm] g) = Vektor (f(g(x))) = Vektorraum (V)?
> > So solltest du das auf keinen Fall aufschreiben!
>
> > Was du machen kannst ist folgendes zu benutzen: Ist V ein
> > endlichdimensionaler Vektorraum, so ist ein Endomorphismus
> > V --> V genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist.
>
> Ist ein Endomorphismus in einem endlich-dimensionalen
> K-Vektorraum gleichzeitig dann immer ein Isomorphismus?
Nein, betrachte z.B. die Null-Abbildung [mm]V \to V, \; x \mapsto 0[/mm]: die ist nur dann ein Isomorphismus, wenn [mm]\dim V = 0[/mm] ist.
> Wie soll ich das alles genau anwenden?
Du hast ein [mm]f \in \Hom(V, V)[/mm] so, dass es ein [mm]g \in \Hom(V, V)[/mm] gibt mit [mm]f \circ g = Id_V[/mm]. Daraus folgt, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist (warum?).
Da [mm]V[/mm] endlichdimensional ist folgt daraus, dass [mm]f[/mm] auch surjektiv ist, also bijektiv und damit ein Isomorphismus.
Soweit ok? Jetzt musst du nur noch die Luecke mit dem surjektiv ausfuellen und in deiner Vorlesung nachschauen, ob ihr das injektiv <-> surjektiv bei endlichdimensionalen Vektorraeumen schon hattet. Wenn nicht musst du darueber mal nachdenken (Tipp: Matrizendarstellung anschauen; wie kann man surjektiv und injektiv durch Rang beschreiben?)...
HTH & LG Felix
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