Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] V_{a}, [/mm] die Menge aller arithmetischen Folgen, isomorph zu R2 ist, indem Sie eine bijektive lineare Abbildung finden mit f: [mm] V_{a}-->R2.
[/mm]
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn [mm] a_{j+1}-a_{j}= [/mm] d mit d [mm] \in [/mm] R für alle j [mm] \in [/mm] N gilt. |
Meine Idee für f war [mm] (a_{0}, a_{1}, a_{2},...) [/mm] ---> [mm] (a_{0}, [/mm] d). Das müsste doch linear, injektiv und surjektiv sein oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:25 Mo 13.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass [mm]V_{a},[/mm] die Menge aller arithmetischen
> Folgen, isomorph zu R2 ist, indem Sie eine bijektive
> lineare Abbildung finden mit f: [mm]V_{a}-->R2.[/mm]
> Eine Folge heißt arithmetisch, wenn [mm]a_{j+1}-a_{j}=[/mm] d
> mit d [mm]\in[/mm] R für alle j [mm]\in[/mm] N gilt.
> Meine Idee für f war [mm](a_{0}, a_{1}, a_{2},...)[/mm] --->
> [mm](a_{0},[/mm] d). Das müsste doch linear, injektiv und surjektiv
> sein oder?
Ja, sieht gut aus.
Hast du auch Ideen, wie du zeigen kannst, dass dein f linear, injektiv und surjektiv ist?
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:09 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Linearität und Injektivität habe ich glaube ich geschafft. Aber Surjektivität macht mir Probleme. [mm] a_{0} [/mm] kann ja jedes Element aus R sein und es gibt dann für jedes [mm] a_{0} [/mm] und für alle d [mm] \in [/mm] R ein x , so dass [mm] x-a_{0}=d [/mm] und damit gilt dann auch für alle j [mm] \in [/mm] N [mm] a_{j+1}-a_{j}=d [/mm] also kann auch d beliebig aus R gewählt werden und R2 = { [mm] (a_{0}, [/mm] d), [mm] a_{0}, [/mm] d [mm] \in [/mm] R } = {f(x), x [mm] \in V_{a} [/mm] }
Überzeugt mich irgendwie nicht so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:18 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Ist (u,v) [mm] \in \IR^2, [/mm] so ist zu zeigen: es gibt ein x [mm] \in V_a: [/mm] f(x)=(u,v).
Definiere die Folge [mm] x=(a_n) [/mm] wie folgt:
[mm] a_0:=u, a_{n+1}:=a_n+v [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 0)
FRED
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