Isomorphismen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Adriana |
Also ich meine das Konzept von Isomorphismen verstanden zu haben (ich stelle mir einfach eine Marionette vor, die eine ende ist also so zu sagen mit dem anderen auf einen unsichtabren Weg "verbunden") und ich weis auch, dass der Isomorphist (sagt man das so?) zu C, [mm] [b]R[/b][X]/ [/mm] ist ...doch wie kriegt man so was eigentlich herraus?
mfg
Adriana
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
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Hallo Adriana,
ehrlich gesagt, ich verstehe deine Frage nicht so ganz ...
> Also ich meine das Konzept von Isomorphismen verstanden zu
> haben (ich stelle mir einfach eine Marionette vor, die eine
> ende ist also so zu sagen mit dem anderen auf einen
> unsichtabren Weg "verbunden") und ich weis auch, dass der
> Isomorphist (sagt man das so?) zu C, [mm][b]R[/b][X]/[/mm] ist
> ...doch wie kriegt man so was eigentlich herraus?
aber vielleicht hilft dir ![[]](/images/popup.gif) dies ein wenig weiter.
sonst frage noch einmal genauer, am besten mit einem konkreten Beispiel.
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Adriana!
Du hattest mich ja gebeten hierzu noch etwas zu schreiben. Tut mir leid, dass ich am Wochenende kaum noch Zeit habe hier zu antworten und dies daher erst jetzt machen kann.
Ich gehe auch auf deine Fragen dazu ein, die du mir in der PN im Bonner Mathematischen Forum gestellt hast.
Ja, das Bild mit der Marionette ist ganz ausgezeichnet!!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ich bin sogar außerordentlich beeindruckt, dass du dieses Bild so vor dir hast. 
Du hast zwei mathematische Strukturen, die beide das gleiche Grundschema haben. Meinetwegen sind beides Mengen und wir haben auf beiden irgendwie Verknüpfungen definiert, zum Beispiel eine "Addition" und eine "Multiplikation". Vielleicht auch nur eine Verknüpfung oder drei, egal. Wichtig ist, dass es auf beiden gleich viele Verknüpfungen sind. Es sollen auch für die Verknüpfungen auf den Mengen die gleichen Gesetze gelten, z.B. das Assoziativgesetz. Wenn auf einer der beiden Mengen ein Gesetz gilt und auf der anderen nicht, dann betrachten wir beide Mengen unter dem Blickwinkel, dass das Gesetz auf beiden Mengen nicht gilt.
Wir gehen also grundsätzlich auf beiden Mengen von der gleichen Struktur aus! Jetzt hattest du mich gefragt, wie man die zu [mm] $\IN$ [/mm] isomorphen Räume findet. Nun ja, dazu müssen wir uns erst einmal klar machen, welche Struktur [mm] $\IN$ [/mm] überhaupt hat. Auf [mm] $\IN$ [/mm] gibt es eine Addition - schön. Das Problem ist: Es gibt kein neutrales Element bezüglich der Addition, also kein Element, dass -addiert mit allen anderen Elementen- diese in Ruhe lässt, also unverändert lässt. Okay, das könnte die $0$ sein, und einige Mathematiker zählen die $0$ auch zu [mm] $\IN$. [/mm] Aber selbst, wenn wir das tun, fehlen uns die "Inversen". Haben wir ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] so hätten wir gerne ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$n+m=m+n=0$.
So etwas gibt es aber nicht in [mm] $\IN$. [/mm] Denn wir wissen ja, dass zwar [mm] $m=-n\in \IZ$ [/mm] ist, aber du siehst schon, dass zwar etwa $5 [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, aber keinesweges $-5 [mm] \notin \IN$.
[/mm]
Wir haben also eine ganz schwache Struktur auf [mm] $\IN$.
[/mm]
Genauer gesagt: Eine sogenannte Halbgruppe:
Eine Menge, mit einer Verknüpfung, die das minimalste erfülllt, was man von eienr solchen Verküpfung erhoffen kann: das Assoziativgesetz.
Jetzt können wir [mm] $\IN$ [/mm] demzufolge nur mit anderen Mengen in dem Sinne vergleichen, dass wir auf ihnen ebenfalls nur das Assoziativgesetz bezüglich einer Verknüpfung betrachten (und alles andere vergessen, falls es eigentlich mehr dort gibt). Wir vergleichen also [mm] $\IN$ [/mm] mit anderen Halbgruppen (also Mengen mit einer Verknüpfung, für die das Assoziativgesetz gilt).
Ich will das nicht weiter ausführen, sondern mir geht es um die Idee.
Zurück zu deiner Marionette: Genau das ist es!
Wann nämlich ist $f: [mm] \IN \to [/mm] X$ ein Isomorphismus?
Genau dann, wenn $f$ den natürlichen Zahlen $n$ Zahlen $f(n)$ aus $X$ so zuordnet, dass $f$ sozusagen die Fäden spinnt:
Alles, was die "Hand" in [mm] $\IN$ [/mm] so anrichtet, wird mittels der "Fäden" $f$ auf die "Marionette" in $X$ übertragen. Immer wenn ich in [mm] $\IN$ [/mm] addiere, sorgt $f$ dafür, dass ich damit auch "automatisch" in $X$ die Verknüpfung durchführe:
Bezeichnen wir mit [mm] $\circ$ [/mm] die Verknüpfung auf $X$. Dann bedeutet das Marionettenspiel folgendes, mathematisch gesehen:
$f(n+m) = f(n) [mm] \circ [/mm] f(m)$.
Die Addition in [mm] $\IN$ [/mm] wird also mittels $f$ auf die Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] in $X$ übertragen. Es ist "egal", ob ich erst in [mm] $\IN$ [/mm] addiere und dann unter $f$ abbilde, oder ob ich erst unter $f$ abbilde und dann verknüpfe. Das $f$ ist so, dass es einfach nur, gleich einem Marionettenspieler, die Addition auf $X$ überträgt.
Wenn $f$ dann zusätzlich noch bijektiv ist (wieder ein schwieriges Wort: es bedeutet aber einfach nur, dass es für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ genau ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, für das $f(n) = x$ ist, dass also jedes $x [mm] \in [/mm] X$ genau einen Partner in [mm] $\IN$ [/mm] bekommt, der ihm zugewiesen wird), dann spricht man von einem Isomorphismus.
Das Beispiel mit [mm] $\IC$, [/mm] das du dort genannt hast, ist ein wesentlich komplizierterer Isomorphismus. Hier vergleicht man zwei Körper: Nein, nicht die Körper von zwei attraktiven Filmschauspielerinnen (das wäre auch nicht so furchtbar objektiv, von Extremfällen abgesehen), sondern von zwei "Körpern" als mathematische Objekte. Dies sind Mengen mit zwei Verknüpfungen ("Addition" und "Multiplikation"), die fast alles erfüllen, was du dir wünschen kannst: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz - all das gilt dort. Aber je mehr man hat, desto mehr wird auch von einem erwartet!!!! Denn hier musst du solche Abbildungen finden (um die Isomorphismen zu bestimmen), die all das dann auch schön in deine neue Menge übertragen, ohne auch nur irgendetwas davon zu verletzen. Das ist gar nicht so einfach!! Da muss man sich schon so komplizierte Dinge wie [mm] $\IR[x]/(x^2+1)$ [/mm] ausdenken. Vermutlich weißt du gar nicht, was das genau ist - spielt aber auch im Moment für dich keine Rolle. Es ist aber "im Wesentlichen" (und das meint die Isomorphie) das Gleiche wie [mm] $\IC$. [/mm] Du findest eine Abbildung $f$, ausgehend von [mm] $\IC$, [/mm] die wieder die Fäden zur Marionette [mm] $\IR[x]/(x^2+1)$ [/mm] zieht - nur diesmal sind es viel mehr Fäden, und man muss ein verdammt guter Marionettenspieler sein, um sich dabei nicht zu verheddern.
Ich hoffe ich konnte es dir ein wenig näherbringen...
Liebe Grüße
Stefan
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