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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | [mm] C\subset [/mm] A, [mm] D\subset [/mm] B seien abelsche Gruppen.
Zeigen Sie [mm] (A\oplus B)/(C\oplus D)\cong(A/C)\oplus(B/D). [/mm] |
Hallo,
ich will den Isomorphiesatz anwenden und dafür zeigen, dass [mm] (C\oplus [/mm] D) der Kern der (kanonischen?) Abbildung f: [mm] (A\oplus B)\to(A/C)\oplus(B/D) [/mm] ist.
Nun, es werden alle Elemente (c,d) mit [mm] c\in [/mm] C und [mm] d\in [/mm] D durch f auf (0,0) abgebildet. In allen anderen Fällen ist da nicht so.
Damit ist [mm] (C\oplus [/mm] D) der Kern von f und aus dem Isomorphiesatz folgt die Behauptung.
Reicht diese Begründung aus?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Di 08.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]C\subset[/mm] A, [mm]D\subset[/mm] B seien abelsche Gruppen.
>
> Zeigen Sie [mm](A\oplus B)/(C\oplus D)\cong(A/C)\oplus(B/D).[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich will den Isomorphiesatz anwenden und dafür zeigen,
> dass [mm](C\oplus[/mm] D) der Kern der (kanonischen?) Abbildung f:
> [mm](A\oplus B)\to(A/C)\oplus(B/D)[/mm] ist.
Die Abbildung ist schon kanonisch (meiner Meinung nach), jedoch solltest du sie trotzdem expliziter angeben. Im Zweifelsfall lass das kanonisch lieber weg, bevor du dafuer Punktabzug bekommst 
> Nun, es werden alle Elemente (c,d) mit [mm]c\in[/mm] C und [mm]d\in[/mm] D
> durch f auf (0,0) abgebildet. In allen anderen Fällen ist
> da nicht so.
> Damit ist [mm](C\oplus[/mm] D) der Kern von f und aus dem
> Isomorphiesatz folgt die Behauptung.
>
> Reicht diese Begründung aus?
Wenn du noch erwaehnst, dass $f$ surjektiv ist: ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo felixf,
danke für die Antwort.
Leider ist mir eben nicht ganz klar, was kanonisch bedeutet.
Anstatt einer ordentlichen Definition haben wir in der Vorlesung nur folgendes Beispiel erhalten:
"Ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist nichtkanonisch isomorph zu seinem Dualraum, jedoch kanonisch isomorph zu seinem Bidualraum."
Als Erklärung für den Begriff ist das ziemlich nichtssagend.
Weißt Du etwas damit anzufangen?
Gruß
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