Isomorphien zwischen Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Mit meiner Facharbeit geht es jetzt in die letzte Phase und ich bin mir nicht ganz sicher, ob das, was ich geschrieben habe stimmt. Ich glaube zwar, es irgendwo gelesen zu haben, weiß aber nicht mehr, wo. Es wäre also ganz toll, wenn ihr euch durchlesen könntet, ob das so richtig ist und mir ggf. sagt, was falsch ist:
"Die Betrachtung von Isomorphien ist insofern interessant, als sie zwischen Gruppen gleicher Ordnung bestehen, die aber unterschiedlichen Gruppenarten entstammen. Findet man zu einer Gruppe also eine isomorphe Gruppe aus einer anderen Gruppenart so besitzt diese die Eigenschaften beider involvierter Gruppenarten."
Viele Grüße und Danke schonmal!
Miezekatze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mo 21.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> "Die Betrachtung von Isomorphien ist insofern interessant,
> als sie zwischen Gruppen gleicher Ordnung bestehen, die
> aber unterschiedlichen Gruppenarten entstammen.
das sehe ich auch so.
> Findet man
> zu einer Gruppe also eine isomorphe Gruppe aus einer
> anderen Gruppenart so besitzt diese die Eigenschaften
> beider involvierter Gruppenarten."
Was du genau mit "Eigenschaften von Gruppenarten" meinst, bleibt im Dunklen.
Das würde ich vielleicht an einem Beispiel konkretisieren.
Gruß
Will
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Mit den Eigenschaften von Gruppenarten habe ich z. B. die Kommutativität gemeint. Aber kann das stimmen? Ich habe nochmal darüber nachgedacht und mir die Isomorphie zwischen [mm] S_3 [/mm] und [mm] Z_2\times Z_3 [/mm] angeschaut. [mm] Z_2\times Z_3 [/mm] müsste abelsch sein, [mm] S_3 [/mm] dagegen nicht...
Wäre die Folgende Formulierung dann besser?
Findet man zu einer Gruppe also eine isomorphe Gruppe aus einer anderen Gruppenart so besitzten beide die selbe Struktur."
Danke! Viele Grüße .
Miezekatze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Mo 21.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Mit den Eigenschaften von Gruppenarten habe ich z. B. die
> Kommutativität gemeint. Aber kann das stimmen? Ich habe
> nochmal darüber nachgedacht und mir die Isomorphie zwischen
> [mm]S_3[/mm] und [mm]Z_2\times Z_3[/mm] angeschaut.
Stopstopstop! Diese beiden Gruppen sind nicht isomorph!
> [mm]Z_2\times Z_3[/mm] müsste
> abelsch sein, [mm]S_3[/mm] dagegen nicht...
Es sind gerade Vertreter der beiden Isomorphietypen, die es bei Gruppen der Ordnung 6 gibt.
> Wäre die Folgende Formulierung dann besser?
> Findet man zu einer Gruppe also eine isomorphe Gruppe aus
> einer anderen Gruppenart so besitzten beide die selbe
> Struktur."
Das Wort 'Gruppenart' gefällt mir nicht so richtig, was soll das sein? Vielleicht solltest du in deiner Arbeit mit 'Gruppe' immer eine konkrete Gruppe meinen. So bilden z. B. die Abbildungen eines Rechtecks auf sich eine Gruppe [mm] G_{1} [/mm] und ebenso die Abbildungen einer Raute auf sich [mm] (G_{2}). [/mm] Das sind zunächst einmal 2 verschiedene Gruppen, weil im einen Fall z. B. an den Seitenhalbierenden gespiegelt wird und im anderen an den Diagonalen. Sie sind aber isomorph, haben also dieselbe Struktur.
Wenn du möchtest und es in deinem Text brauchst, könntest du jetzt ein Wort für die Menge aller zu einer gegebenen Gruppe isomorphen Gruppen definieren, vielleicht 'Gruppentyp'?
Meistens ist man nachlässig und benutzt das Wort 'Gruppe' sowohl für eine konkrete Gruppe (eine Realisierung) als auch für den (abstrakten) Isomorphietyp.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mo 21.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Das Wort 'Gruppenart' gefällt mir nicht so richtig, was soll das sein?
man benutzt es manchmal, um den Anwendungskontext zu bezeichnen, aus dem die Gruppe stammt:
Symmetriegruppe, Permutationsgruppe, etc.
Gruß
Will
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:29 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Miezekatze |
Stimmt, ich habe ja in meiner Facharbeit auch [mm] Z_6\cong Z_2\times Z_3 [/mm] geschrieben... Und dazu ist wiederum [mm] S_3 [/mm] nicht isomorph.
Mit "Gruppenart" meine ich zyklische, symmetrische, Diedergruppen usw. wie ihr schon festgestellt habt.
Aber ich weiß jetzt ehrlich gesagt immer noch nicht, wie ich diesen Teil meiner Facharbeit am Besten formuliere, sodass er dann auch stimmt.
Ist das mit der Struktur dann vielleicht besser, oder ist meine erste vorgeschlagene Beschreibung mit den Eigenschaften sinnvoller? Falls diese besser ist, könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich das "Eigenschaften" konkretisieren kann?
Welche "Eigenschaften" neben der Kommutativität gibt es eigentlich noch?
Auf diese Formulierung bin ich nämlich eigentlich nur gekommen, weil ich mir überlegt habe, dass die Gruppentafeln ja gleich aussehen (bis auf die Bezeichnung der Elemente), wenn sie isomorph sind. Daraus habe ich dann geschlossen, dass sie die gleichen Eigeschaften haben müssen, aber -jetzt, wo ihr so direkt fragt- außer der (nicht-)Kommutativität fällt mir auch keine Eigenschaft ein...
Danke! Viele Grüße
Miezekatze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 21.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Stimmt, ich habe ja in meiner Facharbeit auch [mm]Z_6\cong Z_2\times Z_3[/mm]
> geschrieben... Und dazu ist wiederum [mm]S_3[/mm] nicht isomorph.
> Mit "Gruppenart" meine ich zyklische, symmetrische,
> Diedergruppen usw. wie ihr schon festgestellt habt.
> Aber ich weiß jetzt ehrlich gesagt immer noch nicht, wie
> ich diesen Teil meiner Facharbeit am Besten formuliere,
> sodass er dann auch stimmt.
>
> Ist das mit der Struktur dann vielleicht besser, oder ist
> meine erste vorgeschlagene Beschreibung mit den
> Eigenschaften sinnvoller? Falls diese besser ist, könnt ihr
> mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich das
> "Eigenschaften" konkretisieren kann?
> Welche "Eigenschaften" neben der Kommutativität gibt es
> eigentlich noch?
> Auf diese Formulierung bin ich nämlich eigentlich nur
> gekommen, weil ich mir überlegt habe, dass die
> Gruppentafeln ja gleich aussehen (bis auf die Bezeichnung
> der Elemente), wenn sie isomorph sind. Daraus habe ich dann
> geschlossen, dass sie die gleichen Eigeschaften haben
> müssen, aber -jetzt, wo ihr so direkt fragt- außer der
> (nicht-)Kommutativität fällt mir auch keine Eigenschaft
> ein...
Isomorphe Gruppen haben natürlich die gleiche Struktur, und die Struktur bestimmt die Eigenschaften. Ich weiß nicht so recht, was das Ziel deiner Arbeit sein soll. Du hast mal erwähnt, es gehe darum, die Gruppen bis zur Ordnung 8 zusammenzustellen. Vielleicht verrätst du hier einmal die Struktur deiner Arbeit oder ihr Inhaltsverzeichnis. Es gibt außer der Kommutativität noch viele Eigenschaften von Gruppen (endlich, zyklisch, ohne Untergruppe usw.), die aber bei den kleinen Gruppen noch nicht so recht zum Tragen kommen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Also in meiner Facharbeit sieht so aus:
-Gruppenaxiome
-Ordnung (Gruppe/Element)
-Isomorphie allgemein
-zyklische, symmetrische, Diedergruppen, Quaternionengruppe,direkte Produkte von Gruppen (erst allg. Definition der Erzeugungsart, dann werden die einzelnen Gruppentafeln benannt und eingefügt)
-Isomorphien zwischen den Gruppen bis zur Ordnung 8 speziell (auch mit Gruppentafeln) {Der Satz, über den ich hier gefragt habe, dient zur Einleitung dieses Kapitels}
Dann ein Überblick und der Schluß-fertig.
Ja, wichtig ist mir eben nur, dass dieser Einleitungssatz auch stimmt und Sinn macht, deshalb frage ich nach.
Ist es dann besser den Satz an der Struktur oder an den Eigenschaften aufzuhängen? Oder beides?
Danke! Liebe Grüße
Miezekatze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Di 22.01.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also in meiner Facharbeit sieht so aus:
> -Gruppenaxiome
> -Ordnung (Gruppe/Element)
> -Isomorphie allgemein
> -zyklische, symmetrische, Diedergruppen,
> Quaternionengruppe,direkte Produkte von Gruppen (erst allg.
> Definition der Erzeugungsart, dann werden die einzelnen
> Gruppentafeln benannt und eingefügt)
> -Isomorphien zwischen den Gruppen bis zur Ordnung 8
> speziell (auch mit Gruppentafeln) {Der Satz, über den ich
> hier gefragt habe, dient zur Einleitung dieses Kapitels}
> Dann ein Überblick und der Schluß-fertig.
>
> Ja, wichtig ist mir eben nur, dass dieser Einleitungssatz
> auch stimmt und Sinn macht, deshalb frage ich nach.
> Ist es dann besser den Satz an der Struktur oder an den
> Eigenschaften aufzuhängen? Oder beides?
Zitat:
"Die Betrachtung von Isomorphien ist insofern interessant, als sie zwischen Gruppen gleicher Ordnung bestehen, die aber unterschiedlichen Gruppenarten entstammen. Findet man zu einer Gruppe also eine isomorphe Gruppe aus einer anderen Gruppenart so besitzt diese die Eigenschaften beider involvierter Gruppenarten."
Das würde ich jetzt so verstehen: Wenn alle Gruppen der Art 1 die Eigenschaft A haben und alle Gruppen der Art 2 die Eigenschaft B, dann hat eine Gruppe der Art 1, die zu einer Gruppe der Art 2 isomorph ist, die Eigenschaften A und B. Das ist wohl wahr, aber du hast selbst einen gewissen Mangel darin erkannt, daß du keine Eigenschaft kennst, die z. B. allen symmetrischen Gruppen zukommt.
(Ich gehe davon aus, daß du mit symmetrischen Gruppen die Permutationsgruppen meinst und nicht etwa die Symmetriegruppen irgendwelcher Figuren.) Die symmetrischen Gruppen haben z. B. die gemeinsame Eigenschaft, daß ihre Ordnung eine Zahl vom Typ n! ist.
Aber wenn du deine Beispielgruppen aufzählst, mußt du ja auch begründen, daß diese untereinander nicht isomorph sind, was du z. B. so machen könntest, daß du in einer Gruppe eine Eigenschaft findest, die die andere nicht hat. Dadurch bekäme deine Einleitung einen gewissen Nährwert.
Soweit erstmal
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Di 29.01.2008 | | Autor: | Miezekatze |
Hi!
Ich will mich ganz lieb bei allen bedanken die mir meine Fragen beantwortet haben. Letzten Freitag habe ich meine Facharbeit abgegeben und jetzt heißt es nur noch abwarten  .
Danke!
Liebe Grüße
Miezekatze
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