Isomorphie zu Nullgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich sehe mir zu früheren Aufgaben gerade die Lösungen an. Dort sollte gezeigt werden, dass [mm] Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z}) [/mm] isomorph zur Nullgruppe ist.
Beweis:
Sei [mm] \phi \in Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z}), q\in \mathbb{Q}, \phi(q)=z \in \mathbb{Z}. [/mm] Für beliebiges [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] gilt dann nach Morphismuseigenschaften:
[mm] z=\phi(q)=\phi(\bruch{n}{n}q)=\phi(n \bruch{n}{q})=n \phi(\bruch{n}{q})
[/mm]
Damit wurde gezeigt, dass z durch jedes n teilbar ist. Diese Aussage kann nur für 0 gültig sein, also ist [mm] \phi [/mm] die Nullabbildung.
Warum steht q im Nenner? Eigentlich wäre es doch (n/n)*q = (nq)/n = n*(q/n)??
Warum kann die Aussage nur für 0 gültig sein?
Kann da bitte jemand erklären?
Danke
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> Hallo,
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> ich sehe mir zu früheren Aufgaben gerade die Lösungen an.
> Dort sollte gezeigt werden, dass [mm]Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z})[/mm]
> isomorph zur Nullgruppe ist.
> Beweis:
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> Sei [mm]\phi \in Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z}), q\in \mathbb{Q}, \phi(q)=z \in \mathbb{Z}.[/mm]
> Für beliebiges [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] gilt dann nach
> Morphismuseigenschaften:
> [mm]z=\phi(q)=\phi(\bruch{n}{n}q)=\phi(n \bruch{n}{q})=n \phi(\bruch{n}{q})[/mm]
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> Damit wurde gezeigt, dass z durch jedes n teilbar ist.
> Diese Aussage kann nur für 0 gültig sein, also ist [mm]\phi[/mm]
> die Nullabbildung.
>
> Warum steht q im Nenner?
Hallo,
das ist ein Fehler. Es sollte sicher so heißen:
Sei [mm][mm] \phi \in Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z}), q\in \mathbb{Q} [/mm] und [mm] \phi(q)=z \in \mathbb{Z}.
[/mm]
Für beliebiges [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] gilt dann nach
Morphismuseigenschaften:
[mm]z=\phi(q)=\phi(\bruch{n}{n}q)=\phi(n \bruch{q}{n})=n \phi(\bruch{q}{n})[/mm].
Da [mm] \bruch{q}{n}\in \IQ [/mm] und [mm] \phi [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] abbildet, ist [mm] \phi(\bruch{q}{n}) [/mm] eine ganze Zahl.
Also teilt n die ganze Zahl z.
> Warum kann die Aussage nur für 0 gültig sein?
Das [mm] n\in \IN [/mm] ist beliebig.
Also wird z von jeder natürlichen Zahl geteilt, und das geht nur für z=0.
LG Angela
>
> Kann da bitte jemand erklären?
> Danke
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Hallo Angela,
vielen Dank, für deine Antwort.
Ich hätte da noch eine Frage...
Wenn ich mehrere Gruppen gegeben habe und zeigen soll, dass diese paarweise nicht isomorph sind, reicht es dann zu zeigen, dass die Ordnungen der Elemente nicht übereinstimmen? Also z.B. wenn ich zwei Gruppen A,B mit je vier Elementen habe und in A haben alle Elemente die Ordnung 3 und in B haben drei Elemente Ordnung 3 und ein Element Ordnung 2. Heißt das dann, dass die beiden Gruppen nicht isomorph sind?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kasperkopf,
> Wenn ich mehrere Gruppen gegeben habe und zeigen soll, dass
> diese paarweise nicht isomorph sind, reicht es dann zu
> zeigen, dass die Ordnungen der Elemente nicht
> übereinstimmen? Also z.B. wenn ich zwei Gruppen A,B mit je
> vier Elementen habe und in A haben alle Elemente die
> Ordnung 3 und in B haben drei Elemente Ordnung 3 und ein
> Element Ordnung 2. Heißt das dann, dass die beiden Gruppen
> nicht isomorph sind?
Ja, das ist richtig.
(Es gibt keine Elemente von Ordnung 3 in Gruppen der Ordnung 4. Aber deine Schlussweise ist völlig korrekt.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
danke für deine Antwort.
> (Es gibt keine Elemente von Ordnung 3 in Gruppen der
> Ordnung 4. Aber deine Schlussweise ist völlig korrekt.)
War nur ein Beispiel, hatte mir darüber keinerlei Gedanken gemacht. ^^
Ich hätte da nochmal eine Frage zum Ersten Teil... Da sollte ja gezeigt werden, dass die beiden Gruppen isomorph sind. Es wurde ja gezeigt, dass [mm] \phi [/mm] die Nullabbildung ist, muss da jetzt noch was gezeigt werden oder reicht das?
Danke
Grüße Kasperkopf
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:50 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hätte da nochmal eine Frage zum Ersten Teil... Da
> sollte ja gezeigt werden, dass die beiden Gruppen isomorph
> sind. Es wurde ja gezeigt, dass [mm]\phi[/mm] die Nullabbildung ist,
> muss da jetzt noch was gezeigt werden oder reicht das?
Es wurde gezeigt, dass JEDES Element [mm] $\phi\in\operatorname{Hom}(\IQ,\IZ)$ [/mm] die Nullabbildung [mm] $\IQ\to\IZ$ [/mm] ist.
Also besteht die Gruppe [mm] $\operatorname{Hom}(\IQ,\IZ)$ [/mm] nur aus einem Element.
Alle Gruppen mit nur einem Element sind isomorph zur Nullgruppe.
Somit folgt, dass [mm] $\operatorname{Hom}(\IQ,\IZ)$ [/mm] isomorph zur Nullgruppe ist, was zu zeigen war.
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