Isomorphie < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 So 17.11.2013 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | Begründen Sie: Die Isomorphie ist - auf jeder Menge von Pfeilmodellen - eine
Äquivalenzrelation. |
Also hier muss ich ja die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität beweisen, oder?
Isomorphismus haben wir so definiert:
Seien (G, 0, N), ( G , 0 , N ) Pfeilmodelle. Eine bijektive Abbildung [mm] \delta: [/mm] G [mm] \to [/mm] G mit den Eigenschaften
(1) [mm] \delta(0) [/mm] = 0
(2) [mm] \delta [/mm] (N(a)) = N [mm] (\delta(a))
[/mm]
heißen Isomorphismus von (G, 0, N) nach ( G , 0 , N ).
Muss ich jetzt mit den 2 Eigenschaften arbeiten? Und wie setze ich da am besten an?
Schon einmal danke im Voraus.
Lg Hanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mo 18.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Begründen Sie: Die Isomorphie ist - auf jeder Menge von
> Pfeilmodellen - eine
> Äquivalenzrelation.
>
> Also hier muss ich ja die Reflexivität, Symmetrie und
> Transitivität beweisen, oder?
Ja.
>
> Isomorphismus haben wir so definiert:
>
> Seien (G, 0, N), ( G , 0 , N ) Pfeilmodelle. Eine bijektive
> Abbildung [mm]\delta:[/mm] G [mm]\to[/mm] G mit den Eigenschaften
> (1) [mm]\delta(0)[/mm] = 0
> (2) [mm]\delta[/mm] (N(a)) = N [mm](\delta(a))[/mm]
> heißen Isomorphismus von (G, 0, N) nach ( G , 0 , N ).
>
> Muss ich jetzt mit den 2 Eigenschaften arbeiten?
Ja.
> Und wie
> setze ich da am besten an?
Ich verstehe die Frage nicht. Fange vielleicht mit der Reflexivitaet an: Ist jedes Pfeilmodell zu sich selbst isomorph? Wie lautet ein Isomorphismus?
>
> Schon einmal danke im Voraus.
> Lg Hanna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 18.11.2013 | | Autor: | HannSG |
Danke schon mal.
> Ich verstehe die Frage nicht. Fange vielleicht mit der
> Reflexivitaet an: Ist jedes Pfeilmodell zu sich selbst
> isomorph? Wie lautet ein Isomorphismus?
Ja das ist ja eigentlich logisch. Zeige ich das dann an den Eigenschaften? Also, dass folgendes gilt:
(1) [mm]\delta(0)[/mm] = 0
(2) [mm]\delta[/mm] (N(a)) = N [mm](\delta(a))[/mm]
Muss ich das jetzt noch beweisen? Das ist doch eigentlich selbsterklärend.
Muss ich bei der Symmetrie dann beweisen, dass ein Pfeilmodell G zu einem anderen Pfeilmodell G isomorph ist, wenn G isomorph zu G ist?
Und Transitivität würde dann bedeuten:
G ist isomorph zu G und G ist isomorph zu G' [mm] \Rightarrow [/mm] G ist isomorph zu G'
Richtig?
Ich habe aber keine Idee wie ich das dann beweisen soll.
Lg Hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Di 19.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Danke schon mal.
>
> > Ich verstehe die Frage nicht. Fange vielleicht mit der
> > Reflexivitaet an: Ist jedes Pfeilmodell zu sich selbst
> > isomorph? Wie lautet ein Isomorphismus?
>
> Ja das ist ja eigentlich logisch. Zeige ich das dann an den
> Eigenschaften? Also, dass folgendes gilt:
>
>
> (1) [mm]\delta(0)[/mm] = 0
> (2) [mm]\delta[/mm] (N(a)) = N [mm](\delta(a))[/mm]
>
> Muss ich das jetzt noch beweisen? Das ist doch eigentlich
> selbsterklärend.
Ja, es ist bloed, muss aber gemacht werden. Wenn $(N, [mm] \delta)$ [/mm] ein Pfeilmodell ist, welche Funktion [mm] $\alpha:N\to [/mm] N$ liefert einen Isomorphismus?
>
>
> Muss ich bei der Symmetrie dann beweisen, dass ein
> Pfeilmodell G zu einem anderen Pfeilmodell G isomorph ist,
> wenn G isomorph zu G ist?
Ja. Gehe von einem Isomorphismus [mm] $\alpha:G\to [/mm] G$ aus. Was koennte man als Isomorphismus [mm] $:[u]G[/u]\to [/mm] G$ waehlen?
>
>
>
> Und Transitivität würde dann bedeuten:
>
> G ist isomorph zu G und G ist isomorph zu G' [mm]\Rightarrow[/mm] G
> ist isomorph zu G'
>
> Richtig?
Ja.
>
>
> Ich habe aber keine Idee wie ich das dann beweisen soll.
Wie oben: Seien [mm] $\alpha:G\to [/mm] G$ und [mm] $\beta:[u]G[/u]\to [/mm] G'$ Isomorphismen. Wie kann man damit einen Isomorphismus [mm] $:G\to [/mm] G'$ angeben?
>
> Lg Hanna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 19.11.2013 | | Autor: | HannSG |
> > Danke schon mal.
> >
> > > Ich verstehe die Frage nicht. Fange vielleicht mit der
> > > Reflexivitaet an: Ist jedes Pfeilmodell zu sich selbst
> > > isomorph? Wie lautet ein Isomorphismus?
> >
> > Ja das ist ja eigentlich logisch. Zeige ich das dann an den
> > Eigenschaften? Also, dass folgendes gilt:
> >
> >
> > (1) [mm]\delta(0)[/mm] = 0
> > (2) [mm]\delta[/mm] (N(a)) = N [mm](\delta(a))[/mm]
> >
> > Muss ich das jetzt noch beweisen? Das ist doch eigentlich
> > selbsterklärend.
> Ja, es ist bloed, muss aber gemacht werden. Wenn [mm](N, \delta)[/mm]
> ein Pfeilmodell ist, welche Funktion [mm]\alpha:N\to N[/mm] liefert
> einen Isomorphismus?
> >
Zum Verständnis: Das N steht hier für die Nachfolgerbildung nicht für die nat. Zahlen, oder?
Entschuldigung, aber das verstehe ich nicht. Warum muss ich jetzt eine Funktion aufstellen? Das Pfeilmodell soll doch zu sich selbst isomorph sein.
> >
> > Muss ich bei der Symmetrie dann beweisen, dass ein
> > Pfeilmodell G zu einem anderen Pfeilmodell G isomorph ist,
> > wenn G isomorph zu G ist?
> Ja. Gehe von einem Isomorphismus [mm]\alpha:G\to [u]G[/u][/mm] aus. Was
> koennte man als Isomorphismus [mm]:[u]G[/u]\to G[/mm] waehlen?
Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was ich mir unter einem Isomorphismus vorzustellen habe. Wie kann ich denn einen Isomorphismus wählen?
> >
> >
> > Und Transitivität würde dann bedeuten:
> >
> > G ist isomorph zu G und G ist isomorph zu G' [mm]\Rightarrow[/mm] G
> > ist isomorph zu G'
> >
> > Richtig?
> Ja.
> >
> >
> > Ich habe aber keine Idee wie ich das dann beweisen soll.
> Wie oben: Seien [mm]\alpha:G\to [u]G[/u][/mm] und [mm]\beta:[u]G[/u]\to G'[/mm]
> Isomorphismen. Wie kann man damit einen Isomorphismus [mm]:G\to G'[/mm]
> angeben?
> >
> > Lg Hanna
>
Ich bin leider immer noch ziemlich ratlos. Vielleicht können Sie mir das an (z.B.) der Symmetrie erklären. Dann kann ich das Vorgehen vielleicht leichter auf die Symmetrie und die Transitivität übertragen.
Danke für Ihre Mühe!
Lg Hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mi 20.11.2013 | | Autor: | hippias |
> > > Danke schon mal.
> > >
> > > > Ich verstehe die Frage nicht. Fange vielleicht mit der
> > > > Reflexivitaet an: Ist jedes Pfeilmodell zu sich selbst
> > > > isomorph? Wie lautet ein Isomorphismus?
> > >
> > > Ja das ist ja eigentlich logisch. Zeige ich das dann an den
> > > Eigenschaften? Also, dass folgendes gilt:
> > >
> > >
> > > (1) [mm]\delta(0)[/mm] = 0
> > > (2) [mm]\delta[/mm] (N(a)) = N [mm](\delta(a))[/mm]
> > >
> > > Muss ich das jetzt noch beweisen? Das ist doch eigentlich
> > > selbsterklärend.
> > Ja, es ist bloed, muss aber gemacht werden. Wenn [mm](N, \delta)[/mm]
> > ein Pfeilmodell ist, welche Funktion [mm]\alpha:N\to N[/mm] liefert
> > einen Isomorphismus?
> > >
>
> Zum Verständnis: Das N steht hier für die
> Nachfolgerbildung nicht für die nat. Zahlen, oder?
Ja bzw. nein: Im Deiner urspruenglicher Mitteilung habt ihr $N$ fuer die Nachfolgerabbildung benutzt und $G$ fuer die Grundmenge. Aber ich habe mit $N$ versehentlich die Grundmenge gemeint. In Deiner Notation haette ich besser so geantwortet: Wenn $(G,0,N)$ ein Pfeilmodell ist, welche Abbildung [mm] $\alpha:G\to [/mm] G$ liefert einen Isomorphismus?
>
> Entschuldigung, aber das verstehe ich nicht. Warum muss ich
> jetzt eine Funktion aufstellen? Das Pfeilmodell soll doch
> zu sich selbst isomorph sein.
Du brauchst einen Isomorphismus von einem Pfeilmodell auf sich selbst. Was ein Isomorphismus ist, hast Du in Deiner ersten Mitteilung erklaert.
>
>
> > >
> > > Muss ich bei der Symmetrie dann beweisen, dass ein
> > > Pfeilmodell G zu einem anderen Pfeilmodell G isomorph ist,
> > > wenn G isomorph zu G ist?
> > Ja. Gehe von einem Isomorphismus [mm]\alpha:G\to [u]G[/u][/mm] aus. Was
> > koennte man als Isomorphismus [mm]:[u]G[/u]\to G[/mm] waehlen?
>
> Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was ich
> mir unter einem Isomorphismus vorzustellen habe. Wie kann
> ich denn einen Isomorphismus wählen?
Du musst aus dem gegebenen Isomorphismus [mm] $\alpha:G\to [/mm] G$ einen Isomorphismus [mm] $:[u]G[/u]\to [/mm] G$ konstruieren. Versuche, ob [mm] $\alpha^{-1}$ [/mm] die erforderlichen Eigenschaften hat.
>
> > >
> > >
> > > Und Transitivität würde dann bedeuten:
> > >
> > > G ist isomorph zu G und G ist isomorph zu G' [mm]\Rightarrow[/mm] G
> > > ist isomorph zu G'
> > >
> > > Richtig?
> > Ja.
> > >
> > >
> > > Ich habe aber keine Idee wie ich das dann beweisen soll.
> > Wie oben: Seien [mm]\alpha:G\to [u]G[/u][/mm] und [mm]\beta:[u]G[/u]\to G'[/mm]
> > Isomorphismen. Wie kann man damit einen Isomorphismus [mm]:G\to G'[/mm]
> > angeben?
> > >
> > > Lg Hanna
> >
>
>
> Ich bin leider immer noch ziemlich ratlos. Vielleicht
> können Sie mir das an (z.B.) der Symmetrie erklären. Dann
> kann ich das Vorgehen vielleicht leichter auf die Symmetrie
> und die Transitivität übertragen.
> Danke für Ihre Mühe!
> Lg Hanna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Mi 20.11.2013 | | Autor: | HannSG |
Danke für die Hilfe.
Lg Hanna
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