Isomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Fr 07.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Man zeige, dass [mm] \IZ/mn\IZ \cong \IZ/m\IZ [/mm] x [mm] \IZ/n\IZ, [/mm] falls (m,n)=1, dass aber [mm] \IZ/p^2\IZ [/mm] und [mm] \IZ/p\IZ [/mm] x [mm] \IZ/p\IZ [/mm] nicht isomorph sind. |
Hallo Leute,
habe schon Probleme dabei eine Abbildungsvorschrift aufzustellen, ich versuche es mal:
f: [mm] \IZ/m\IZ [/mm] x [mm] \IZ/n\IZ [/mm] -> [mm] \IZ/mn\IZ
[/mm]
mxn -> (m,n)
Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich eher doch [mm] a+m\IZ [/mm] x [mm] b+n\IZ [/mm] -> [mm] c+mn\IZ [/mm] schreiben soll oder nicht, bin da etwas überfragt.
Und noch eine Sache (m,n)=1 soll doch bedeuten, dass [mm] (m\IZ,n\IZ) [/mm] das neutrale Element ist, oder?
Danke schonmal!
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Hallo AntonK,
> Man zeige, dass [mm]\IZ/mn\IZ \cong \IZ/m\IZ[/mm] x [mm]\IZ/n\IZ,[/mm] falls
> (m,n)=1, dass aber [mm]\IZ/p^2\IZ[/mm] und [mm]\IZ/p\IZ[/mm] x [mm]\IZ/p\IZ[/mm] nicht
> isomorph sind.
>
> Hallo Leute,
>
> habe schon Probleme dabei eine Abbildungsvorschrift
> aufzustellen, ich versuche es mal:
>
> f: [mm]\IZ/m\IZ[/mm] x [mm]\IZ/n\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/mn\IZ[/mm]
> mxn -> (m,n)
?? In [mm]\IZ/m\IZ \ \times \ \IZ/n\IZ[/mm] sind doch Tupel von Restklassen, in [mm]\IZ/mn\IZ[/mm] sind keine Tupel.
Deine Abbildungsvorschrift ist also "komisch"
Hattet ihr den Isomorphiesatz für Gruppen?
Damit geht es ganz leicht, wenn du dir mal den Kern des Homomorphismus (mache dir klar, dass das einer ist)
[mm]\varphi:\IZ \ \to \ \IZ/m\IZ \ \times \ \IZ/n\IZ, x\mapsto ([x]_m,[x]_n)[/mm], wobei [mm][x]_m[/mm] die Restklasse von [mm]x[/mm] modulo [mm]m[/mm] beueichnet und [mm][x]_n[/mm] analog die von [mm]x[/mm] modulo [mm]n[/mm]
Welche Elemente sind im Kern von [mm]\varphi[/mm]?
>
> Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich eher doch [mm]a+m\IZ[/mm] x
> [mm]b+n\IZ[/mm] -> [mm]c+mn\IZ[/mm] schreiben soll oder nicht, bin da etwas
> überfragt.
>
> Und noch eine Sache (m,n)=1 soll doch bedeuten, dass
> [mm](m\IZ,n\IZ)[/mm] das neutrale Element ist, oder?
Sag mal genauer, was du meinst ...
>
> Danke schonmal!
Falls ihr den Homomorphiesatz (bzw. Isomorphiesatz) noch nicht hattet, betrachte mal die Abbildung
[mm]\psi:\IZ/mn\IZ\to\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ, \psi([x]_{mn})=([x]_m,[x]_n)[/mm]
Zeige, dass [mm]\psi[/mm] ein injektiver Homomorphismus ist.
Wie kannst du dann damit folgern, dass [mm]\psi[/mm] auch surjektov, mithin bijektiv, also ein Isomorphismus ist?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Fr 07.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Wir hatten eine vereinfachte Version:
Sei f: G->G' ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann sind G/Ker(f) und G' isomorphe Gruppen.
[mm] \IZ/m\IZ [/mm] und [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ist doch dieses Ausdruck G/Ker(f), jetzt muss ich also nur noch zeigen, dass die Abbildung ein surjektiver Gruppenhomo. ist.
Habe ein bisschen Probleme mit der Abbildung:
[mm] \psi([x]_{mn})=([x]_m,[x]_n) [/mm] $#
Heißt [mm] [x]_{mn}, [/mm] dass ich ein Element von [mm] \IZ/m\IZ [/mm] und dann abbilde?
Ich verstehe auch nicht ganz, was mir (m,n)=1 sagen soll, damit ist ja das gemeint, was für dem [mm] \IZ [/mm] steht, also das tupel [mm] (m\IZ,n\IZ) [/mm] oder nicht? Was ja aber gleich Null ist und nicht 1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Fr 07.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also das was du da zeigen musst ist der Chinesische Restsatz. (m,n)=1 ist ne Notation die ich nicht kenne. Die Voraussetzung beim Chinesischen Restsatz ist, dass gg(m,n)=1 ist. Ich denke, dass (m,n)=ggt(m,n) gemeint ist.
Was du zeigen sollst ist, dass
[mm] \phi: \IZ \to \IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ [/mm]
[mm] a \mapsto (a + m\IZ,a + n\IZ) [/mm] surjektiv ist. Um dann mit dem Isomorphiesatz zu folgern, dass
[mm] \IZ/mn\IZ \to \IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ [/mm] mit
[mm] a + mn\IZ \mapsto (a + m\IZ,a + n\IZ) [/mm] ein Isomorphismus ist.
Du musst also zeigen, dass [mm] mn\IZ [/mm] der Kern von [mm] \phi [/mm] ist.
Vielleicht isses dir jetzt klarer.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 07.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich sehe die Abbildung einfach nicht ein.
Die Element aus [mm] \IZ/m\IZ [/mm] x [mm] \IZ/n\IZ [/mm] haben doch die Form [mm] (a+m\IZ,b+n\IZ) [/mm] wobei 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] m-1 und 0 [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] n-1, verstehe nicht, warum [mm] (m+\IZ, n+\IZ)...
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 07.09.2012 | | Autor: | teo |
> Ich sehe die Abbildung einfach nicht ein.
>
> Die Element aus [mm]\IZ/m\IZ[/mm] x [mm]\IZ/n\IZ[/mm] haben doch die Form
> [mm](a+m\IZ,b+n\IZ)[/mm] wobei 0 [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] m-1 und 0 [mm]\le[/mm] b [mm]\le[/mm] n-1,
> verstehe nicht, warum [mm](m+\IZ, n+\IZ)...[/mm]
Ja Entschuldigung!! Du hast recht. War kein böser Wille 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Für Surjektivität zeige ich also:
Es existiert ein a, sodass [mm] f(a)=(b+m\IZ,c+n\IZ)
[/mm]
Als Beispiel wäre doch für m=2 und n=3 und a=3:
f(3)=(1,0) also wäre b=1 und c=0.
Durch Division mit Rest erhalten wir:
[mm] a=m*\IZ+b [/mm] und [mm] a=n*\IZ+c
[/mm]
Wobei [mm] 0\le [/mm] b [mm] \le [/mm] m-1 und [mm] 0\le [/mm] c [mm] \le [/mm] n-1
Somit existiert doch ein a dafür.
Reicht das als Surjektivitätsnachweis?
Nun zum Kern:
[mm] \IZ/mn\IZ=(mn\IZ, 1+mn\IZ,..., (mn-1)+\IZ)=(0, [/mm] 1,..., mn)
Das heißt doch dann [mm] mn\IZ=0
[/mm]
Und somit [mm] Ker(f)=mn\IZ
[/mm]
Kann ich das so machen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mo 10.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Für Surjektivität zeige ich also:
>
> Es existiert ein a, sodass [mm]f(a)=(b+m\IZ,c+n\IZ)[/mm]
>
> Als Beispiel wäre doch für m=2 und n=3 und a=3:
>
> f(3)=(1,0) also wäre b=1 und c=0.
>
> Durch Division mit Rest erhalten wir:
>
> [mm]a=m*\IZ+b[/mm] und [mm]a=n*\IZ+c[/mm]
>
> Wobei [mm]0\le[/mm] b [mm]\le[/mm] m-1 und [mm]0\le[/mm] c [mm]\le[/mm] n-1
>
> Somit existiert doch ein a dafür.
>
> Reicht das als Surjektivitätsnachweis?
Mir ist das zu unklar. Du musst zeigen: Zu beliebigem [mm] $b,c\in \IZ$ [/mm] gibt es ein [mm] $a\in \IZ$ [/mm] so, dass $f(a)= [mm] (b+m\IZ, c+n\IZ)$, [/mm] d.h. [mm] $(a+m\IZ, a+n\IZ)(b+m\IZ, c+n\IZ)$. [/mm] Die Existenz dieses $a$ ergibt sich z.B. mit dem Chinesischen Restsatz.
>
>
> Nun zum Kern:
>
> [mm]\IZ/mn\IZ=(mn\IZ, 1+mn\IZ,..., (mn-1)+\IZ)=(0,[/mm] 1,..., mn)
>
> Das heißt doch dann [mm]mn\IZ=0[/mm]
>
> Und somit [mm]Ker(f)=mn\IZ[/mm]
>
> Kann ich das so machen?
Das geht so auf keinen Fall. Zeige fuer [mm] $a\in \IZ$, [/mm] dass $f(a)= 0$ (d.h. [mm] $a\in m\IZ$ [/mm] und [mm] $a\in n\IZ$) [/mm] genau dann, wenn [mm] $a\in mn\IZ$.
[/mm]
>
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mo 10.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Den chinesischen Restsatz hatten wir halt leider noch nicht, gibt es noch andere Methode bzw. hat jemand einen Ansatz?
Ok, ich versuch das mit dem Kern nochmal.
f(a)=0 => a [mm] \in mn\IZ
[/mm]
[mm] f(a)=b+m\IZ,c+n\IZ=0
[/mm]
Das ist nur 0, wenn:
[mm] b+m\IZ=0
[/mm]
[mm] c+n\IZ=0
[/mm]
Dies gilt nur, wenn:
b=0
c=0
oder
b=m
c=n
Wobei wir vorher festgelegt haben:
0 [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] m-1
0 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] n-1
Also fällt diese Möglichkeit schonmal raus
Somit haben wir dann
[mm] m\IZ= [/mm] 0 und [mm] n\IZ=0
[/mm]
Dies gilt nur, wenn a [mm] \in [/mm] Ker(f)
Somit ist [mm] nm\IZ [/mm] der Ker(f)
Nun zur Rückrichtung.
a [mm] \in mn\IZ [/mm] => f(a)=0
Wenn a [mm] \in mn\IZ [/mm] liegt, muss es also eine Zerlegung von a geben in m [mm] \in m\IZ [/mm] und n [mm] \in n\IZ, [/mm] da aber [mm] m\IZ [/mm] und [mm] n\IZ [/mm] Kerne sind, gilt auch die Behauptung.
Kann man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Di 11.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Den chinesischen Restsatz hatten wir halt leider noch
> nicht, gibt es noch andere Methode bzw. hat jemand einen
> Ansatz?
>
> Ok, ich versuch das mit dem Kern nochmal.
>
> f(a)=0 => a [mm]\in mn\IZ[/mm]
>
> [mm]f(a)=b+m\IZ,c+n\IZ=0[/mm]
>
> Das ist nur 0, wenn:
>
> [mm]b+m\IZ=0[/mm]
> [mm]c+n\IZ=0[/mm]
>
> Dies gilt nur, wenn:
>
> b=0
> c=0
>
> oder
>
> b=m
> c=n
>
> Wobei wir vorher festgelegt haben:
>
> 0 [mm]\le[/mm] b [mm]\le[/mm] m-1
> 0 [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] n-1
>
> Also fällt diese Möglichkeit schonmal raus
>
> Somit haben wir dann
>
> [mm]m\IZ=[/mm] 0 und [mm]n\IZ=0[/mm]
>
> Dies gilt nur, wenn a [mm]\in[/mm] Ker(f)
Nein: Du hast bis jetzt nur etwas ueber $b$ und $c$ bewiesen, aber nichts ueber $a$, was doch Deine Aufgabe war. Die Aussage [mm] $a\in [/mm] Kern f$ an dieser Stelle ist ueberfluessig, da Du $f(a)= 0$, also [mm] $a\in [/mm] Kern f$ VORAUSGESETZT hast.
Also: Sei $f(a)= 0$. Nach Definition von $f$ heisst dies $(a+ [mm] n\IZ, a+m\IZ)= [/mm] 0$, also $a+ [mm] n\IZ= [/mm] 0 [mm] (=0+n\IZ)$ [/mm] und $a+ [mm] m\IZ= [/mm] 0 [mm] (=0+m\IZ)$. [/mm] Daraus folgt [mm] $a\in n\IZ$ [/mm] und [mm] $a\in m\IZ$. [/mm] Nun versuche Du es weiter zu zeigen , dass [mm] $a\in nm\IZ$ [/mm] folgt.
>
> Somit ist [mm]nm\IZ[/mm] der Ker(f)
>
> Nun zur Rückrichtung.
>
> a [mm]\in mn\IZ[/mm] => f(a)=0
>
> Wenn a [mm]\in mn\IZ[/mm] liegt, muss es also eine Zerlegung von a
> geben in m [mm]\in m\IZ[/mm] und n [mm]\in n\IZ,[/mm] da aber [mm]m\IZ[/mm] und [mm]n\IZ[/mm]
> Kerne sind, gilt auch die Behauptung.
Verstehe ich nicht: Wovon sollen [mm] $n\IZ$ [/mm] und [mm] $m\IZ$ [/mm] Kerne sein? Zeige mit Hilfe der Definition von $f$, dass $f(a)= 0(= [mm] (n\IZ, m\IZ))$ [/mm] gilt, falls [mm] $a\in mn\IZ$ [/mm] gewaehlt wurde.
>
> Kann man das so machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Bewusst ist es mir, dass es gilt, aber ich kann es nicht beweisen, bräuchte mal einen Tipp, wie ich da beginnen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
Also:
[mm] \phi(a) [/mm] = (a + [mm] m\IZ,a +n\IZ)
[/mm]
[mm] Ker(\phi) [/mm] = [mm] \{a \in \IZ | \phi(a) = 0\} [/mm] = [mm] \{a \in \IZ | \phi(a) = (a + m\IZ, a + n\IZ) = (m\IZ, n\IZ)\} [/mm] = [mm] \{a \in \IZ | a \in m\IZ \wedge a \in n\IZ\} [/mm] = (wegen ggT(m,n)=1) [mm] =\{a \in \IZ | a \in mn\IZ\} [/mm] = [mm] mn\IZ
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 12.09.2012 | | Autor: | AntonK |
(wegen ggT(m,n)=1) heißt, dass m z.B. kein vielfaches von n ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mi 12.09.2012 | | Autor: | teo |
Wenn a [mm] \in m\IZ [/mm] und a [mm] \in n\IZ [/mm] gilt, folgt, dass a [mm] \in kgV(m,n)\IZ [/mm] liegt. ggT(m,n)=1 bedeutet, dass m und n keine gemeinsamen Teiler haben. Also ist das kgV(m,n)=mn.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mi 12.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, ich verstehe, danke!
Nochmal kurz zur Surjektivität, ich hatte dies ja oben so bewiesen:
Für Surjektivität zeige ich also:
Es existiert ein a, sodass $ [mm] f(a)=(b+m\IZ,c+n\IZ) [/mm] $
Als Beispiel wäre doch für m=2 und n=3 und a=3:
f(3)=(1,0) also wäre b=1 und c=0.
Durch Division mit Rest erhalten wir:
$ [mm] a=m\cdot{}\IZ+b [/mm] $ und $ [mm] a=n\cdot{}\IZ+c [/mm] $
Wobei $ [mm] 0\le [/mm] $ b $ [mm] \le [/mm] $ m-1 und $ [mm] 0\le [/mm] $ c $ [mm] \le [/mm] $ n-1
Somit existiert doch ein a dafür.
Jetzt wurde eingeworfen, dass ich das mit chinesischen Restsatz machen soll, nur den hatten wir leider nicht, gibt es noch eine Möglichkeit, dies zu beweisen und hälst du meinen Beweis auch für zu ungenau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mi 12.09.2012 | | Autor: | teo |
Ja, der Witz ist, dass das was du da zeigen sollst (in unserem Skript) als chinesischer Restsatz geführt wird . Das heißt gerade den sollst du ja zeigen.
Ich halte es im übrigen für einfacher zu zeigen, dass [mm] \phi: mn\IZ \to n\IZ \times m\IZ [/mm] ein Isomorphismus ist.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 12.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ach, ich glaube ich begnüge mich nun erstmal mit "meinem" Beweis zur Surjektiviät, mag sein, dass er etwas ungenau ist, aber mir fällt einfach nichts anderes ein, wie ich es beweisen könnte.
Die Zusatzfrage war, warum [mm] \IZ/p^2\IZ [/mm] und [mm] \IZ/p\IZ [/mm] x [mm] \IZ/p\IZ [/mm] nicht isomorph sind, ich würde einfach damit argumentieren, dass wir für den Beweis vorher nutzen mussten ggT(m,n)=1 was für ggT(p,p)=p ja nicht gilt, wäre das eine gültige argumentation?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mi 12.09.2012 | | Autor: | teo |
Ja genau...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mi 12.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, dann danke soweit!
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