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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Sind [mm] \IR [/mm] \ {0} und [mm] \IC [/mm] \ {0} isomorph? |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen. Hier muss man doch einen Isomorphismus angeben zw. [mm] \IR [/mm] \ {0} und [mm] \IC [/mm] \ {0}, um zu zeigen, dass die beiden isomorph sind. Aber ich weiß leider nicht, wie ich den Isomorphismus angeben soll. Oder vielleicht gibt es gar keinen Isomorphismus zwischen [mm] \IR [/mm] \ {0} und [mm] \IC [/mm] \ {0}.
Muss man das dann durch einen Widerspruch zeigen?
So einfach wie die Aufgabe scheinen mag, aber ich komm nicht drauf, wie ich einen Isomorphismus finde bzw. zeigen kann, dass das nicht isomorph ist. Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Vielen Dank und viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Di 07.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab eine Frage bzgl. dieser Abb..Kann man da einfach eine Abb., die von [mm] \IR [/mm] \ {0} nach [mm] \IC [/mm] \ {0} geht definieren, wie z.B. z [mm] \mapsto \bruch{1}{|z|} [/mm] und zeigen,ob dies isomorph ist? Diese Abb. ist isomorph, wenn ich richtig bewiesen hab. Oder muss man das allgemein zeigen? Da weiß ich aber nicht, wie ich das machen soll, weil man doch eine konkrete Abb. haben muss dafür oder?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Ich komm allein nicht drauf, wie ich da vorgehen soll.
Vielen Dank,
Moe
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Hallo Moe,
nein, hier würde ich benutzen, daß das Bild einer endlichen (Unter-)Gruppe unter einem Gruppenisomorphismus eine endliche Gruppe *gleicher* Ordnung ist; versuch's mal mit der mult. Gruppe [mm]\{\pm 1, \pm \wurzel[-1]\}[/mm] unter der Annahme, daß es einen Isomorphismus zwischen den multiplikativen Gruppen von [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IR$ [/mm] gibt.
Hth
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
hallo zahlenspieler,
ich hab eine Frage zu deiner Mitteilung. Mit [mm] {\pm 1, \pm \wurzel[-1]\} [/mm] meinst du die Menge { [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm i^{2} [/mm] } oder? Dies ist eine Untergruppe von [mm] \IC [/mm] \ {0}.
Nun hab ich eine Abb. [mm] \phi: \IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IR [/mm] \ {0}.
Aber dass ich annehmen kann, dass das ein Isomorphismus ist,brauch ich doch eine konkrete Abb. oder? Aber wie soll diese genau aussehen?
Wie man zeigt, dass etwas isomorph ist, ist mir klar.
Danke für deine Hilfe,
VG, Moe
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Hallo Moe,
> hallo zahlenspieler,
> ich hab eine Frage zu deiner Mitteilung. Mit [mm]{\pm 1, \pm \wurzel[-1]\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> meinst du die Menge { [mm]\pm[/mm] 1, [mm]\pm i^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} oder? Dies ist
> eine Untergruppe von [mm]\IC[/mm] \ {0}.
Nein, schon die Menge bestehend aus +1, -1, +i, -i  .
> Nun hab ich eine Abb. [mm]\phi: \IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IR[/mm] \ {0}.
> Aber dass ich annehmen kann, dass das ein Isomorphismus
> ist,brauch ich doch eine konkrete Abb. oder? Aber wie soll
> diese genau aussehen?
Nein, Du brauchst hier keine konkrete Abbildung - es geht darum zu zeigen, daß es einen Isomorphismus nicht geben kann - per Widerspruchsbeweis.
Und egal, wie ein einzelner Homo-Isomorphismus konkret aussieht: Es gibt "Dinge, die jeder Homomorphismus tut" : z.B. neutrales/inverses Element auf neutrales/inverses abbilden usw.
> Wie man zeigt, dass etwas isomorph ist, ist mir klar.
Oh, versuch' das aber bitte nicht gerade bei diesen beiden  .
Da [mm] $\pm [/mm] 1$ schon als "Ziele" Deines Isomorphismus festliegen: Wie bringt man nun [mm] $\pm [/mm] i$ unter?
Hoffe das hilft
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zahlenspieler,
echt nett von dir, dass du mir hilfst
Hab schon verzweifelt nach einer konkreten Abb. gesucht...
Ich hab mit deiner Hilfe folgendes gemacht, hab aber deine Antwort nicht ganz verstanden:
Annahme: Es gibt einen Isomorphismus von [mm] \IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IR [/mm] \ {0}. Wenn es ein Isom. ist, ist es erst recht ein Hom.
Also für die Menge {+1,-1,+i,-i} [mm] \subset \IC [/mm] \ {0} wird die 1 [mm] \in \IC [/mm] \ {0} auf die 1 [mm] \in \IR [/mm] \ {0} abgebildet (neutrales Element wird auf neutrales Element abgebildet.)
Ich versteh aber nicht, warum die -1 auf die -1 abgebildet wird? Da wir das alles multiplikativ betrachten, ist doch das Inverse von 1 die 1 selbst und nicht die -1 oder?
Für i und -i hab ich mir folgendes überlegt: Da wir angenommen haben, dass ein Isom. zwischen [mm] \IC [/mm] \ {0} und [mm] \IR [/mm] \ {0} vorliegt, können i und -i nicht auf [mm] \pm [/mm] 1 abgebildet werden. Kann man sich dann bel. Werte aus [mm] \IR [/mm] \ {0} auswählen?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter. Sorry, dass ich mich so dumm anstelle
Viele Grüße,
Moe 007
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Hallo Moe,
> Hallo zahlenspieler,
> echt nett von dir, dass du mir hilfst
> Hab schon verzweifelt nach einer konkreten Abb.
> gesucht...
> Ich hab mit deiner Hilfe folgendes gemacht, hab aber deine
> Antwort nicht ganz verstanden:
> Annahme: Es gibt einen Isomorphismus von [mm]\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IR[/mm]
> \ {0}. Wenn es ein Isom. ist, ist es erst recht ein Hom.
> Also für die Menge {+1,-1,+i,-i} [mm]\subset \IC[/mm] \ {0} wird die
> 1 [mm]\in \IC[/mm] \ {0} auf die 1 [mm]\in \IR[/mm] \ {0} abgebildet
> (neutrales Element wird auf neutrales Element abgebildet.)
> Ich versteh aber nicht, warum die -1 auf die -1 abgebildet
> wird? Da wir das alles multiplikativ betrachten, ist doch
> das Inverse von 1 die 1 selbst und nicht die -1 oder?
Die multiplikative Gruppe [mm]\{\pm 1, \pm i\}[/mm] von [mm]\IC \ \{0\}[/mm] enthält als Untergruppe [mm]\{\pm 1\}[/mm]; in ihr hat -1 die Ordnung 2, also muß der Isomorphismus -1 auch auf ein Element mit Ordnung 2 in [mm]\IR \ \{0\}[/mm] abbilden. Und aus [mm]r^2=1, r \not=1[/mm] ($r [mm] \in \IR$) [/mm] ergibt sich $r=-1$.
>
> Für i und -i hab ich mir folgendes überlegt: Da wir
> angenommen haben, dass ein Isom. zwischen [mm]\IC[/mm] \ {0} und [mm]\IR[/mm]
> \ {0} vorliegt, können i und -i nicht auf [mm]\pm[/mm] 1 abgebildet
> werden. Kann man sich dann bel. Werte aus [mm]\IR[/mm] \ {0}
> auswählen?
>
Ja, aber aus [mm][mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0, \pm 1\}/mm).
[/mm]
>
> Ich hoffe, du hilfst mir weiter. Sorry, dass ich mich so
> dumm anstelle
Och, das hat mit 'dumm anstellen' nix zu tun: Gerade bei so Beweisen über Gegenbeispiele braucht's manchmal einfach eine kleine "Eingebung"
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:12 Do 09.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zahlenspieler,
vielen Dank für deine Antwort. ich versteh aber nicht, die Begründung weshalb -1 auf -1 abgebildet wird. Was heißt "-1 hat die Ordnung 2"?
> Die multiplikative Gruppe [mm]\{\pm 1, \pm i\}[/mm] von [mm]\IC \ \{0\}[/mm]
> enthält als Untergruppe [mm]\{\pm 1\}[/mm]; in ihr hat -1 die
> Ordnung 2, also muß der Isomorphismus -1 auch auf ein
> Element mit Ordnung 2 in [mm]\IR \ \{0\}[/mm] abbilden. Und aus
> [mm]r^2=1, r \not=1[/mm] ([mm]r \in \IR[/mm]) ergibt sich [mm]r=-1[/mm].
Warum ist r [mm] \not= [/mm] 1?
> >
> > Für i und -i hab ich mir folgendes überlegt: Da wir
> > angenommen haben, dass ein Isom. zwischen [mm]\IC[/mm] \ {0} und [mm]\IR[/mm]
> > \ {0} vorliegt, können i und -i nicht auf [mm]\pm[/mm] 1 abgebildet
> > werden. Kann man sich dann bel. Werte aus [mm]\IR[/mm] \ {0}
> > auswählen?
> >
> Ja, aber aus [mm][mm]\IR[/mm] \ [mm]\{0, \pm 1\}/mm).[/mm]
D.h. [mm] \pm [/mm] i [mm] \mapsto \IR [/mm] \ {0, [mm] \pm [/mm] 1}
ich versteh aber nicht ganz, wie daraus der Widerspruch folgen soll. Ich hab ja angenommen, dass das ein Isomorphismus ist, obwohl es ja in Wirklichkeit keiner ist.
Liegt der Widerspruch darin, weil das Bild von {+1, -1, +i, -i} eine Ordnung größer 4 hat?
Danke nochmal für deine Hilfe.
MfG, Moe
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Hallo Moe,
> Hallo zahlenspieler,
> vielen Dank für deine Antwort. ich versteh aber nicht, die
> Begründung weshalb -1 auf -1 abgebildet wird. Was heißt "-1
> hat die Ordnung 2"?
Für eine (endliche) Gruppe $G$ ist die Ordnung eines Elements [mm] $a\in [/mm] G$ definiert als die Ordnung von [mm] $\langle a\rangle>$. [/mm]
>
>
> > Die multiplikative Gruppe [mm]\{\pm 1, \pm i\}[/mm] von [mm]\IC \ \{0\}[/mm]
> > enthält als Untergruppe [mm]\{\pm 1\}[/mm]; in ihr hat -1 die
> > Ordnung 2, also muß der Isomorphismus -1 auch auf ein
> > Element mit Ordnung 2 in [mm]\IR \ \{0\}[/mm] abbilden. Und aus
> > [mm]r^2=1, r \not=1[/mm] ([mm]r \in \IR[/mm]) ergibt sich [mm]r=-1[/mm].
>
> Warum ist r [mm]\not=[/mm] 1?
Na, welche reellen Nullstellen hat denn nu das Polynom [mm] $x^2-1$ [/mm] ?
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> > >
> > > Für i und -i hab ich mir folgendes überlegt: Da wir
> > > angenommen haben, dass ein Isom. zwischen [mm]\IC[/mm] \ {0} und [mm]\IR[/mm]
> > > \ {0} vorliegt, können i und -i nicht auf [mm]\pm[/mm] 1 abgebildet
> > > werden. Kann man sich dann bel. Werte aus [mm]\IR[/mm] \ {0}
> > > auswählen?
> > >
> > Ja, aber aus [mm][mm]\IR[/mm] \ [mm]\{0, \pm 1\}/mm).[/mm]
D.h. [mm]\pm[/mm] i [mm]\mapsto \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0, [mm]\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
ich versteh aber nicht ganz, wie daraus der Widerspruch folgen soll. Ich hab ja angenommen, dass das ein Isomorphismus ist, obwohl es ja in Wirklichkeit keiner ist.
Liegt der Widerspruch darin, weil das Bild von {+1, -1, +i, -i} eine Ordnung größer 4 hat?
Nein, der Widerspruch ergibt sich, weil unter der Annahme eines Isomorphismus dieser insb. auch surjektiv ist. Wenn Du also nur ein einziges Element aus $\IC \ {0}$ angeben kannst, daß *kein* Bild in $\IR \ {0}$ hat, dann hat sich's mit der Surjektivität .
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zahlenspieler,
ich hoffe mal, dass ich nun die Lösung habe. Wenn ich das Element i [mm] \in \IC [/mm] \ {0} auf i abbilde, dann folgt doch daraus der Widerspruch, da i nicht in [mm] \IR [/mm] \ {0} enthalten ist. Also ist die Abb. [mm] \IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IR [/mm] \ {0} nicht surjektiv. Widerspruch zur Annahme, dass es ein Isomorphismus ist.
Stimmt das so?
Ich hoffe mal
Großes Danke für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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Hallo Moe,
> Hallo zahlenspieler,
> ich hoffe mal, dass ich nun die Lösung habe. Wenn ich das
> Element i [mm]\in \IC[/mm] \ {0} auf i abbilde, dann folgt doch
> daraus der Widerspruch, da i nicht in [mm]\IR[/mm] \ {0} enthalten
> ist. Also ist die Abb. [mm]\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IR[/mm] \ {0} nicht
> surjektiv. Widerspruch zur Annahme, dass es ein
> Isomorphismus ist.
Tja, dummerweise liefert eine Abbildung in die rellen Zahlen keine komplexen Zahlen. So wie Du's schreibst, stimmts leider nicht. Ich ahne zwar, wie Du auf diese Idee kommst - [mm] $\pm [/mm] i$ bleiben nur noch als einzige von [mm] $\pm [/mm] 1$ verschiedene Nullstellen des Polynoms [mm] $x^4-1$ [/mm] übrig. Aber...
Mfg
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 14.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Sa 11.11.2006 | | Autor: | felixf |
Sali zusammen!
Genau diese Frage hatten wir schon hier.
LG Felix
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