Isometrietyp bestimmen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Fr 05.02.2016 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Folgende Aufgabe:
Sei [mm] \Delta_{ABC} [/mm] das Dreieck in der euklidischen Ebene X und [mm] \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 [/mm] die affinen Spieglungen an der Geraden [mm] \mathfrak{H}_1:=<\{A,B\}>, \mathfrak{H}_2:=<\{B,C\}>, \mathfrak{H}_3:=<\{A,C\}>.
[/mm]
Bestimmen sie den Typ und die Fixpunktmente folgender Isometrien:
a) [mm] \sigma_2\circ \sigma_1
[/mm]
b) [mm] \sigma_3\circ \sigma_2 \circ \sigma_1 [/mm]
[Hinweis: Nehmen sie bei b) an, es wäre eine Spieglung. Wie müssten dann die Spiegelgraden aussehen?] |
Also ich habe mir folgendes überlegt.
a) Es gilt [mm] det(\sigma_2\circ \sigma_1)=det(\sigma_2)\cdot [/mm] det [mm] (\sigma_1)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist Drehung, Identität oder Translation.
Wegen [mm] \mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}=\{B\} [/mm]
[mm] \Right \sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B
[/mm]
[mm] \Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist Drehung.
b) Hier könnte ich doch theor. genauso Argumentieren.
[mm] det(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Spieglung oder Gleitspieglung.
Wegen [mm] \mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}=\emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist Gleitspielung.
Da irrtiert mich allerdings der Hinweis, dass man annehmen soll es wäre eine Spieglung.
Man könnte evtl. auch mithilfe der Kollinearität von [mm] A,B,C\in [/mm] X argumentieren.
Mir fiel nur folgendes noch ein bei dem ich mir nicht ganz so sicher bin:
Also angenommen [mm] \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist spieglung.
Dann ist nach a) [mm] \sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mathfrak{H} [/mm] ist Bisektor zwischen [mm] \sigma_3(B) [/mm] und B
[mm] \Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}>
[/mm]
[mm] \Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H}
[/mm]
Im Widerspruch zu [mm] \mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3} [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Aber das wäre ja in etwa das gleiche wie oben.
Ist das so okay?
Gibt es noch alternativen die ich übersehen habe?
Mfg. Der Joker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Sa 06.02.2016 | | Autor: | hippias |
> Folgende Aufgabe:
>
> Sei [mm]\Delta_{ABC}[/mm] das Dreieck in der euklidischen Ebene X
> und [mm]\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3[/mm] die affinen Spieglungen an
> der Geraden [mm]\mathfrak{H}_1:=<\{A,B\}>, \mathfrak{H}_2:=<\{B,C\}>, \mathfrak{H}_3:=<\{A,C\}>.[/mm]
>
> Bestimmen sie den Typ und die Fixpunktmente folgender
> Isometrien:
>
> a) [mm]\sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
> b) [mm]\sigma_3\circ \sigma_2 \circ \sigma_1[/mm]
>
> [Hinweis: Nehmen sie bei b) an, es wäre eine Spieglung.
> Wie müssten dann die Spiegelgraden aussehen?]
>
>
>
>
>
> Also ich habe mir folgendes überlegt.
>
> a) Es gilt [mm]det(\sigma_2\circ \sigma_1)=det(\sigma_2)\cdot[/mm]
> det [mm](\sigma_1)=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm] ist Drehung, Identität
> oder Translation.
O.K.
>
> Wegen [mm]\mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}=\{B\}[/mm]
> [mm]\Right \sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B[/mm]
O.K.
>
> [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
> ist Drehung.
Achtung: Du hast nur bewiesen, dass [mm] $B\in Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)$. [/mm] Wieso gibt es tatsächlich keine weiteren Fixpunkte?
>
> b) Hier könnte ich doch theor. genauso Argumentieren.
>
> [mm]det(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Spieglung oder Gleitspieglung.
O.K.
>
> Wegen [mm]\mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}=\emptyset[/mm]
O.K.
>
> [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\emptyset[/mm]
>
Diesen Schluss sehe ich nicht ein. Wieso kann es keinen Fixpubkt der verketteten Funktion geben, der nicht auf den Hyperebenen [mm] $\mathfrak{H_i}$ [/mm] liegt?
> [mm]\Rightarrow \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm] ist
> Gleitspielung.
>
> Da irrtiert mich allerdings der Hinweis, dass man annehmen
> soll es wäre eine Spieglung.
>
> Man könnte evtl. auch mithilfe der Kollinearität von
> [mm]A,B,C\in[/mm] X argumentieren.
Das halte für sicherer; s.o.
>
> Mir fiel nur folgendes noch ein bei dem ich mir nicht ganz
> so sicher bin:
>
> Also angenommen [mm]\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm] ist
> spieglung.
>
> Dann ist nach a) [mm]\sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B[/mm]
O.K.
>
> [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> und B
Was ist hier [mm] $\mathfrak{H}$? [/mm] Wurde dieses Objekt schon eingeführt oder ist das eine Definition?
> [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}>[/mm]
> [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H}[/mm]
>
> Im Widerspruch zu [mm]\mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}[/mm]
> = [mm]\emptyset.[/mm]
Diesen Schluss verstehe ich nicht. Aber ich kenne mich mit dem Thema auch nicht gut aus.
Meine Überlegung, aufbauend auf Deinen bisherigen Ergebnissen, ginge etwa so: Ich setze [mm] $\tau:= \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1$. [/mm] Du hast nachgerechnet, dass [mm] $\tau(B)= \sigma_{3}(B)$ ($\neq [/mm] B$; wieso?) gilt. Man hat also zwei Spiegelungen der Ebene, die auf einem Nichtfixpunkt übereinstimmen. Lässt sich daraus nicht vielleicht schlussfolgern, dass ihre Spiegelachsen parallel sein müssen und daraus einen Widerspruch ableiten?
> Aber das wäre ja in etwa das gleiche wie oben.
>
> Ist das so okay?
> Gibt es noch alternativen die ich übersehen habe?
>
> Mfg. Der Joker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 06.02.2016 | | Autor: | Joker08 |
> >
> > [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\}[/mm]
> >
> [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
> > ist Drehung.
> Achtung: Du hast nur bewiesen, dass [mm]B\in Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)[/mm].
> Wieso gibt es tatsächlich keine weiteren Fixpunkte?
Mh stimmt da hab ich so garnicht drüber nachgedacht. Ich habe versucht einen Widerspruch zu konstruieren, allerdings gelingt mir das bisweilen nicht.
Sei [mm] $D\in [/mm] X$ mit [mm] $\sigma_2\circ\sigma_1(D)=D$.
[/mm]
Wenn ich die Definition einer Affinen Spieglung anwenden würde, müsste halt gelten
[mm] $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B\sigma_2\circ\sigma_1(D)}$
[/mm]
Das bringt mich allerdings nicht weiter.
Dann wüsste ich noch, dass der Fixpunkt eindeutig ist wenn 1 kein EW der linearisierung ist.
Dazu fällt mir aber auch keine wirkliche begründung.
___________________________________________________________
Das einzige was mir noch eingefallen ist, wäre die Identität auszuschließen:
Angenommen [mm] $\varphi:=\sigma_2\circ\sigma_1$ [/mm] wäre Identität, dann müsste [mm] $\varphi(D)=D\, \forall D\in [/mm] X$ gelten.
Also auch [mm] $\varphi(A)=\sigma_2\circ\sigma_1 [/mm] (A) = [mm] \sigma_2(A) [/mm] = A$.
[mm] $\Rightarrow A\in <\{B,C\}> [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AC}$.
[/mm]
Im Widerspruch zur kollinearität.
Also ist [mm] $\varphi \not= [/mm] id$.
Ich hätte es aber lieber allgemeiner gemacht.
> > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> > und B
> Was ist hier [mm]\mathfrak{H}[/mm]? Wurde dieses Objekt schon
> eingeführt oder ist das eine Definition?
Mit [mm] $\mathfrak{H}$ [/mm] haben wir immer die affine Hyperebene bezeichnet an der gespiegelt wird.
> > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}>[/mm]
> > [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H}[/mm]
>
> >
> > Im Widerspruch zu [mm]\mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}[/mm]
> > = [mm]\emptyset.[/mm]
> Diesen Schluss verstehe ich nicht. Aber ich kenne mich mit
> dem Thema auch nicht gut aus.
Mh im nachhinein bin ich mir auch nicht mehr ganz sicher.
Ich dachte mir, dass wenn der Pkt. an [mm] \mathfrak{H_3} [/mm] gespiegelt wird (weil z.B. B fixpkt ist),
dann müsste die Spiegelebene ja grade der bisektor zwischen bild und urbild sein.
> Meine Überlegung, aufbauend auf Deinen bisherigen
> Ergebnissen, ginge etwa so: Ich setze [mm]\tau:= \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm].
> Du hast nachgerechnet, dass [mm]\tau(B)= \sigma_{3}(B)[/mm] ([mm]\neq B[/mm];
> wieso?) gilt.
Ja, wäre [mm] $\sigma_{3}(B)=B$, [/mm] dann müsste ja [mm] $B\in [/mm] <A,C>$ liegen
[mm] $\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AB}$.
[/mm]
>Man hat also zwei Spiegelungen der Ebene, die
> auf einem Nichtfixpunkt übereinstimmen.
Mh das verstehe ich grade nicht so ganz.
Ist damit [mm] $\tau(B)=\sigma_3(B)$ [/mm] gemeint?
>Lässt sich daraus
> nicht vielleicht schlussfolgern, dass ihre Spiegelachsen
> parallel sein müssen und daraus einen Widerspruch
> ableiten?
]Für [mm] $A\in [/mm] X$ muss dann gelten:
[mm] $\overrightarrow{A\tau(B)}=\overrightarrow{A\sigma_3(B)}\, \forall B\in [/mm] X.$
[mm] $\Rightarrow V_{\tau(B)}=V_{\sigma_3(B)} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow V_{\tau(B)}\parallel V_{\sigma_3(B)} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow [/mm] [...]$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 So 07.02.2016 | | Autor: | hippias |
> > >
> > > [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\}[/mm]
> > >
> > [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
> > > ist Drehung.
> > Achtung: Du hast nur bewiesen, dass [mm]B\in Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)[/mm].
> > Wieso gibt es tatsächlich keine weiteren Fixpunkte?
>
> Mh stimmt da hab ich so garnicht drüber nachgedacht. Ich
> habe versucht einen Widerspruch zu konstruieren, allerdings
> gelingt mir das bisweilen nicht.
>
> Sei [mm]D\in X[/mm] mit [mm]\sigma_2\circ\sigma_1(D)=D[/mm].
>
> Wenn ich die Definition einer Affinen Spieglung anwenden
> würde, müsste halt gelten
>
> [mm]\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B\sigma_2\circ\sigma_1(D)}[/mm]
>
> Das bringt mich allerdings nicht weiter.
> Dann wüsste ich noch, dass der Fixpunkt eindeutig ist
> wenn 1 kein EW der linearisierung ist.
> Dazu fällt mir aber auch keine wirkliche begründung.
>
> ___________________________________________________________
>
> Das einzige was mir noch eingefallen ist, wäre die
> Identität auszuschließen:
> Angenommen [mm]\varphi:=\sigma_2\circ\sigma_1[/mm] wäre
> Identität, dann müsste [mm]\varphi(D)=D\, \forall D\in X[/mm]
> gelten.
>
> Also auch [mm]\varphi(A)=\sigma_2\circ\sigma_1 (A) = \sigma_2(A) = A[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow A\in <\{B,C\}>[/mm]
> [mm]\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AC}[/mm].
>
> Im Widerspruch zur kollinearität.
>
> Also ist [mm]\varphi \not= id[/mm].
>
> Ich hätte es aber lieber allgemeiner gemacht.
Das ist doch schon ausreichend: Du weisst ja, dass es für [mm] $\varphi$ [/mm] nur die Möglichkeiten Drehung, Identität und Translation gibt. Der Fall Identität scheidet aus und weil wir wissen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] einen Fixpunkt hat ...
>
>
>
> > > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> > > und B
> > Was ist hier [mm]\mathfrak{H}[/mm]? Wurde dieses Objekt schon
> > eingeführt oder ist das eine Definition?
>
> Mit [mm]\mathfrak{H}[/mm] haben wir immer die affine Hyperebene
> bezeichnet an der gespiegelt wird.
O.K. Genau so ein Ding brauchen wir.
In der alten Bezeichnung ist [mm] $\sigma_{3}(B)= \tau(B)$ [/mm] und $B$ ist kein Fixpunkt der beiden Spiegelungen. Folglich haben beide Spiegelungen den gleichen Bisektor=Spiegelebene (bei dieser Überlegung lasse ich mich von meiner Anschauung leiten; eventuell müsste dies noch beweisen werden; im schlimmsten Fall ist es sogar falsch). Dann wäre aber [mm] $\tau= \sigma_{3}$ [/mm] . Leite daraus einen Widerspruch her.
>
> > > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}>[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Im Widerspruch zu [mm]\mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}[/mm]
> > > = [mm]\emptyset.[/mm]
> > Diesen Schluss verstehe ich nicht. Aber ich kenne mich
> mit
> > dem Thema auch nicht gut aus.
>
> Mh im nachhinein bin ich mir auch nicht mehr ganz sicher.
> Ich dachte mir, dass wenn der Pkt. an [mm]\mathfrak{H_3}[/mm]
> gespiegelt wird (weil z.B. B fixpkt ist),
> dann müsste die Spiegelebene ja grade der bisektor
> zwischen bild und urbild sein.
>
> > Meine Überlegung, aufbauend auf Deinen bisherigen
> > Ergebnissen, ginge etwa so: Ich setze [mm]\tau:= \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm].
> > Du hast nachgerechnet, dass [mm]\tau(B)= \sigma_{3}(B)[/mm] ([mm]\neq B[/mm];
> > wieso?) gilt.
>
> Ja, wäre [mm]\sigma_{3}(B)=B[/mm], dann müsste ja [mm]B\in [/mm]
> liegen
> [mm]\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AB}[/mm].
Richtig.
>
> >Man hat also zwei Spiegelungen der Ebene, die
> > auf einem Nichtfixpunkt übereinstimmen.
>
> Mh das verstehe ich grade nicht so ganz.
> Ist damit [mm]\tau(B)=\sigma_3(B)[/mm] gemeint?
Ja.
>
> >Lässt sich daraus
> > nicht vielleicht schlussfolgern, dass ihre Spiegelachsen
> > parallel sein müssen und daraus einen Widerspruch
> > ableiten?
>
> ]Für [mm]A\in X[/mm] muss dann gelten:
>
> [mm]\overrightarrow{A\tau(B)}=\overrightarrow{A\sigma_3(B)}\, \forall B\in X.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow V_{\tau(B)}=V_{\sigma_3(B)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow V_{\tau(B)}\parallel V_{\sigma_3(B)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow [...][/mm]
>
S.o.
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:05 Mi 10.02.2016 | | Autor: | Joker08 |
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> >
> >
> >
> > > > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> > > > und B
> > > Was ist hier [mm]\mathfrak{H}[/mm]? Wurde dieses Objekt schon
> > > eingeführt oder ist das eine Definition?
> >
> > Mit [mm]\mathfrak{H}[/mm] haben wir immer die affine Hyperebene
> > bezeichnet an der gespiegelt wird.
> O.K. Genau so ein Ding brauchen wir.
>
> In der alten Bezeichnung ist [mm]\sigma_{3}(B)= \tau(B)[/mm] und [mm]B[/mm]
> ist kein Fixpunkt der beiden Spiegelungen. Folglich haben
> beide Spiegelungen den gleichen Bisektor=Spiegelebene (bei
> dieser Überlegung lasse ich mich von meiner Anschauung
> leiten; eventuell müsste dies noch beweisen werden; im
> schlimmsten Fall ist es sogar falsch). Dann wäre aber
> [mm]\tau= \sigma_{3}[/mm] . Leite daraus einen Widerspruch her.
Okay, also ich fasse die Gedanken nochmal etwas zusammen:
[mm] $\tau:=\sigma_3\circ\sigma_2 \circ\sigma_1$
[/mm]
Es gilt:
[mm] $\tau(B)=\sigma_3(B)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \mathfrak{H_3}$ [/mm] ist Spiegelgrade von [mm] $\tau$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow Fix(\tau)=\mathfrak{H_3}$, [/mm] im Widerspruch zu [mm] $\mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}\cap\mathfrak{H_3}=\emptyset$.
[/mm]
Anmerkung: Die Annahme stimmt. Wir haben in einer Übungsaufgabe bereits gezegt, dass für X affiner Raum und [mm] A,B\in [/mm] X gilt: Sind [mm] A\not=B, [/mm] dann existiert eine eindeutig bestimmte affine Hyperebene [mm] \mathfrak{H} [/mm] mit [mm] \sigma_{\mathfrak{H}}(A)=B, [/mm] wobei [mm] \sigma_{H} [/mm] die affine Spieglung an [mm] \mathfrak{H} [/mm] ist.
Mit freundlichen Grüßen,
der Joker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 12.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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