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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 So 23.11.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Seien $X$ und $Y$ normierte Räume, [mm] $E\subset [/mm] X$ ein dichter Unterraum und [mm] $T\in [/mm] L(X,Y).$ Zeige:
Ist [mm] $T_{|_E}$ [/mm] eine Isometrie, so ist $T$ ebenfalls isometrisch |
Ich hab folgende Überlegungen angestellt:
- $T$ ist gleichmäßig stetig [mm] ($\forall \epsilon\exists\delta\forall x,y:~||x-y||\leq \delta\Rightarrow ||Tx-Ty||\leq\epsilon$)
[/mm]
- $E$ ist dicht in X [mm] ($\forall [/mm] x, [mm] \epsilon>0\exists e\inE:~||x-e||\leq\epsilon$)
[/mm]
- [mm] $T_{|_E}$ [/mm] ist [mm] isometrisch($||x||=||Tx||~\forall x\in [/mm] E$)
Dann ist für alle [mm] $x\in [/mm] X$:
[mm] $||x||=||x-e+e||\leq||x-e||+||e||\leq\delta+||e||=\delta [/mm] + ||Te||$
Da nun aber $T$ gleichmäßig stetig ist und $x$ und $e$ sich nur um [mm] $\delta$ [/mm] unterscheiden, folgt
[mm] $||x||\leq \delta +||Tx||\pm \epsilon$
[/mm]
Nun bin ich ja damit noch nicht fertig, aber ich weiß ich nicht, was ich hier mit [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] anfangen soll und wie ich die andere Richtung angehen soll!
Danke für eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Warum denn so umständlich ?
Sei x [mm] \in [/mm] X. E dicht in X , also ex. eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in E mit [mm] x_n [/mm] --> x.
Dann [mm] ||x_n||--> [/mm] ||x|| und [mm] Tx_n [/mm] --> Tx und [mm] ||Tx_n||--> [/mm] ||Tx||, folglich
||x|| = lim [mm] ||x_n|| [/mm] = lim [mm] ||Tx_n|| [/mm] = ||Tx||.
Fazit: ||Tx|| = ||x|| fürjedes x [mm] \in [/mm] X.
FRED
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| Aufgabe | Betrachte [mm] $X=L^1[0,1],~Y=(C[0,1])'$, [/mm] sowie [mm] $(Tf)(x)=\int_0^1x(t)f(t)dt$. [/mm]
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Wie kann man die Aussage der obigen Aufgabe hier anwenden??
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Was ist (C[0,1])' ? Der Strich irritiert mich.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Damit müsste doch der Dualraum gemeint sein, also der Raum der linearen Funktionale
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 So 30.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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