Isometrien-unitäre Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 28.06.2005 | | Autor: | chlonori |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallihallo! ich bin neu hier und hab gleich ein problem zu bewältigen, welches ich von allein nicht gelöst bekomme!! nehme hilfe dankend an!!
und zwar zu folgendem problem:
Gegeben seien Untervektorräume [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] von unitären Vektorräumen [mm] V_{1} [/mm] bzw. [mm] V_{2} [/mm] der gleichen Dimension n < [mm] \infty. [/mm] Zeigen Sie, dass man jede Isometrie f : [mm] U_{1} \to U_{2} [/mm] zu einer Isometrie g : [mm] V_{1} \to V_{2} [/mm] fortsetzen kann.
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Hallo!
Bedeutet das
> Gegeben seien Untervektorräume [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] von unitären
> Vektorräumen [mm]V_{1}[/mm] bzw. [mm]V_{2}[/mm] der gleichen Dimension n <
> [mm]\infty.[/mm]
dass [mm] $\mathrm{dim}V_1=\mathrm{dim}V_2=n$? [/mm] Oder ist [mm] $\mathrm{dim}U_1=\mathrm{dim}U_2=n$?
[/mm]
Es muss wohl der erste Fall sein, sonst stimmt ja die Aussage nicht.
Eine Isometrie von [mm] $V_1$ [/mm] nach [mm] $V_2$ [/mm] ist eine lineare Abbildung, so dass [mm] $\langle u;v\rangle_{V_1}=\langle f(u);f(v)\rangle_{V_2}$ [/mm] für alle [mm] $u,v\in V_1$.
[/mm]
Jedenfalls würde ich so vorgehen:
1. Wähle eine ONB [mm] $\{u_1,\dots,u_m\}$ [/mm] von [mm] $U_1$. [/mm] Zeige das [mm] $\{f(u_1),\dots,f(u_m)\}$ [/mm] ein Orthonormalsystem in [mm] $U_2$ [/mm] ist.
2. Ergänze [mm] $\{u_1,\dots,u_m\}$ [/mm] zu einer ONB von [mm] $V_1$: $\{u_1,\dots,u_n\}$. [/mm] Ergänze [mm] $\{f(u_1),\dots,f(u_m)\}$ [/mm] zu einer ONB von [mm] $V_2$: $\{f(u_1),\dots,f(u_m),v_{m+1},\dots, v_n\}$.
[/mm]
Setze $f$ auf [mm] $V_1$ [/mm] fort:
$g:\ [mm] V_1\to V_2, x=\summe_{i=1}^n a_i u_i\mapsto f\left(\summe_{i=1}^m a_i u_i\right) +\summe_{j=m+1}^n a_jv_j$.
[/mm]
3. Weise nach, dass $g$ eine Isometrie von [mm] $V_1$ [/mm] nach [mm] $V_2$ [/mm] ist!
Hilft dir das mit der Aufgabe weiter?
Gruß, banachella
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