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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Do 15.07.2010 | | Autor: | Brad |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass f normal ist?
Wir hatten in der Vorlesung Spektralsätze und da hab ich mir überlegt, dass das eig so sein müsste jedoch bin ich mir nicht sicher.
Lg Brad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Do 15.07.2010 | | Autor: | Lippel |
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo
> Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
> Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass f
> normal ist?
f Isometrie [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f orthogonal/unitär (je nachdem ob du dich in einem Euklidischen oder einem unitären Vektorraum befindest) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f normal
> Wir hatten in der Vorlesung Spektralsätze und da hab ich
> mir überlegt, dass das eig so sein müsste jedoch bin ich
> mir nicht sicher.
> Lg Brad
Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Do 15.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> > Hallo
> > Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
> > Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass
> f
> > normal ist?
>
> f Isometrie [mm]\Rightarrow[/mm] f orthogonal/unitär
Zumindest, wenn $f(0) = 0$ ist 
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Fr 16.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo
> Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
> Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass f
> normal ist?
> Wir hatten in der Vorlesung Spektralsätze und da hab ich
> mir überlegt, dass das eig so sein müsste jedoch bin ich
> mir nicht sicher.
Ist der zugrunde liegende Raum endlichdimensional, so ist eine lineare Isometrie normal, denn aus
[mm] $f^{\*} \circ [/mm] f= id$
folgt, dass f injektiv und somit auch bijektiv ist. Also gilt auch $f [mm] \circ f^{\*} [/mm] = id$ , denn [mm] $f^{\*}= f^{-1}$.
[/mm]
Ist der zugrunde liegende Raum aber unendlichdimensional, so muß eine lineare Isometrie nicht normal sein. Beispiel: der Hilbertraum [mm] l^2( \IN) [/mm] und die Isometrie
[mm] $f(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)= [mm] (0,x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)$
Dann ist
[mm] $f^{\*}(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)= [mm] (x_2,x_3, [/mm] ...)$
also [mm] $f^{\*} \circ [/mm] f= id$ , aber $f [mm] \circ f^{\*} \ne [/mm] id$
FRED
> Lg Brad
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