Isometrie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 15.06.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | | Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, und sei f: V [mm] \to [/mm] V linear und invertierbar. Zeige: Folgt aus <x,y> = 0 stets <f(x),f(y)> = 0, so gibt es ein [mm] \lambda \in \IR, [/mm] sodass [mm] \lambda [/mm] f eine Isometrie von V ist. |
Hallo,
ich sitze schon bissl länger an diesem Beweis, aber irgendwie habe ich überhaupt gar keinen Ansatz hierfür.
Wäre euch dankbar, wenn ihr mir einen Tipp oder einen Ansatz geben könntet, sodass ich irgendwie weiterkomme!
Danke im Voraus!
Lg,
Sherin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Do 15.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Der erste Schritt besteht dadrin, eine Orthonormalbasis zu wählen und zu verwenden. Im Folgenden sei also [mm] $B=\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] eine Orthonormalbasis von $V$.
Nach Voraussetzung werden orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet. Insbesondere gilt [mm] $\langle f(v_i),f(v_j)\rangle [/mm] =0$ für [mm] $1\leq i,j\leq [/mm] n, [mm] i\neq [/mm] j$.
Ohne weitere Idee, wie die Aufgabe zu lösen ist, können wir damit erstmal für zwei beliebige Vektoren [mm] $x=\sum \lambda_i v_i, y=\sum\mu_i v_i$ [/mm] das Skalarprodukt ihrer Bilder deutlich vereinfachen. Es gilt:
[mm] $\langle f(x),f(y)\rangle [/mm] = [mm] \langle \sum\lambda_i v_i,\sum\mu_i v_i\rangle [/mm] = [mm] \sum_{i,j} \lamba_i \mu_j \langle f(v_i),f(v_j)\rangle [/mm] = [mm] \sum \lambda_i \mu_i \langle f(v_i),f(v_j)\rangle$.
[/mm]
So, das Skalarprodukt von $x$ und $y$ entspricht [mm] $\langle x,y\rangle [/mm] = ... = [mm] \sum \lambda_i \mu_i$.
[/mm]
Wir wollen zeigen, dass $f$ Vielfaches einer Isometrie ist. Dazu muss [mm] $\langle x,y\rangle$ [/mm] stets Vielfaches (mit einer für alle $x,y$ festen Konstanten) von [mm] $\langle f(x),f(y)\rangle$ [/mm] sein.
Wie könnten wir das erreichen? Schauen wir uns [mm] $\langle f(x),f(y)\rangle$ [/mm] an, so sehen wir, dass die Aufgabe gelöst wäre, wenn die [mm] $\langle f(v_i),f(v_i)\rangle$ [/mm] für alle [mm] $1\leq i\leq [/mm] n$ einander gleich wären.
So, und dies zu zeigen überlasse ich nun dir. Man braucht eine kleine Idee, dann folgt die Behauptung sofort, aber dieses Überlegen und Suchen nach der Idee überlasse ich dir. Zur Veranschaulichung kannst du dich ja mal geistig im [mm] $\IR^2$ [/mm] bewegen und ein paar Linearkombinationen von Vektoren der kanonischen Orthonormalbasis miteinander skalar multiplizieren.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Do 15.06.2006 | | Autor: | Sherin |
Hey cool.. danke... der Ansatz hat mir schon gerecht! Danke für deine Mühe!!
|
|
|
|
