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| Aufgabe | Beweise, dass jede Isometrie von R nach R von der Gestalt [mm] x\to [/mm] ax+b, mit
a [mm] \in \{-1,1 \} [/mm] und b [mm] \in [/mm] R ist. |
Hallo,
ich bin neu hier und brauche dringend Hilfe. ich muss die Aufgabe morgen abgeben und weiß überhaupt nicht, wie ich anfangen soll.
Meine ganze Definitionen von Isometrien haben immer etwas mit metrischen Räumen zu tun. Kann ich die denn benutzen? Und dann müßte ich doch irgendwie die Linearität durch Nachweis des Skalarproduktes zeigen. Wenn ja, wie? Aber wahrscheinlich denke ich in die völlig falsche Richtung.
Ich wäre über jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Christine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo teletubbi,
wie wärs, wenn du dir erstmal die definition von isometrie im [mm] $\IR$ [/mm] hinschreibst. Ich gehe mal davon aus, dass die euklidische standard-metrik gemeint ist:
$d(x,y)=|x-y|$ oder anders
[mm] $d(x,y)^2=(x-y)^2$.
[/mm]
Wenn $f$ eine isometrie ist, muss also gelten
[mm] $d(x,y)^2=(x-y)^2=(f(x)-f(y))^2=d(f(x),f(y))^2, \forall x,y\in \IR$.
[/mm]
Halte jetzt einmal $y$ fest (das kannst du dann zB. [mm] $x_0$ [/mm] nennen), dann gilt:
[mm] $(x-x_0)^2=(f(x)-f(x_0))^2, \forall x,x_0\in \IR$.
[/mm]
Schaffst du das jetzt alleine?
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 01.06.2006 | | Autor: | teletubbi |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Jetzt ist alles klar.
Danke!!!!!
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