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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 02.08.2012 | | Autor: | drossel |
Hallo,
ich suche nach einer bestimmten Aussage mit Beweis.
Habe was gesehen was benutzt wurde, das war so ähnlich wie: wenn [mm] (X,\parallel.\parallel_X), (Y,\parallel.\parallel_Y) [/mm] zwei normierte VR. sind und X Banachraum. j:X->Y eine lineare Isometrie (genaueres zu j kann ich grad nicht angeben), dann ist j(X) abgeschlossene Teilmenge von Y.
Entschuldigung, wenn es jetzt etwas komisch zusammengeschrieben ist. Ich weiss nicht mehr, wo genau ich das gelesen habe, wo sowas benutzt wurde. Weiss auch nicht mehr, ob Y auch vollständig war oder nicht. Meine Frage: Kennt jemand da einen genauen Satz/wie würde so ein Satz korrekt lauten? vor allem wieso ist j(X) abgeschlossen? Und kann man die Isometrie durch etwas ersetzen? Wäre super, wenn da jemand aufklären könnte und mir das erklären könnte!!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Do 02.08.2012 | | Autor: | fred97 |
j(X) ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] der Minimalmodul [mm] \gamma(j) [/mm] >0
Minimalmodul:
http://books.google.de/books?id=Qki6XWyXzacC&pg=PA310&lpg=PA310&dq=minimalmodul&source=bl&ots=hbLMgwoxMc&sig=jlH7HAcUty5GXk81yqZgAkDQvww&hl=de&sa=X&ei=7ukaULjsFYn_4QSBwICABg&ved=0CEwQ6AEwAA#v=onepage&q=minimalmodul&f=false
Bei j ist [mm] \gamma(j) [/mm] =1
Warum ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 So 05.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich suche nach einer bestimmten Aussage mit Beweis.
> Habe was gesehen was benutzt wurde, das war so ähnlich
> wie: wenn [mm](X,\parallel.\parallel_X), (Y,\parallel.\parallel_Y)[/mm]
> zwei normierte VR. sind und X Banachraum. j:X->Y eine
> lineare Isometrie (genaueres zu j kann ich grad nicht
> angeben), dann ist j(X) abgeschlossene Teilmenge von Y.
Sei [mm] (y_n) [/mm] eine konvergente Folge in j(X) und [mm] y_0 [/mm] ihr Limes. Zu zeigen: [mm] y_0 \in [/mm] j(X).
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in X mit [mm] j(x_n)=y_n.
[/mm]
Dann:
[mm] ||x_n-x_m||=||j(x_n-x_m)||=||y_n-y_m||.
[/mm]
Dies zeigt, dass [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in X ist. Da X ein Banachraum ist, konvergiert [mm] (x_n) [/mm] gegen ein [mm] x_0 \in [/mm] X.
Da j stetig ist, folgt : [mm] y_n =j(x_n) \to j(x_0).
[/mm]
Somit:
[mm] y_0=j(x_0) \in [/mm] j(X)
FRED
>
> Entschuldigung, wenn es jetzt etwas komisch
> zusammengeschrieben ist. Ich weiss nicht mehr, wo genau ich
> das gelesen habe, wo sowas benutzt wurde. Weiss auch nicht
> mehr, ob Y auch vollständig war oder nicht. Meine Frage:
> Kennt jemand da einen genauen Satz/wie würde so ein Satz
> korrekt lauten? vor allem wieso ist j(X) abgeschlossen? Und
> kann man die Isometrie durch etwas ersetzen? Wäre super,
> wenn da jemand aufklären könnte und mir das erklären
> könnte!!
>
> Lg
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