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| Aufgabe | Führt man eine Irrfahrt auf den ganzzahligen Punkten der Zahlengeraden aus, wobei man vom Ursprung ausgeht und sich jedem Schritt um eine Einheit nach links oder rechts mit gleicher Wahrscheinlichkeit und unabhängig von den vorausgehenden Schritten fortbewegt, so
gelangt man mit der Wahrscheinlichkeit 1 zum Ursprung zurück.
Es lässt sich nun folgende Frage stellen:
Wie oft wird während dieser Irrfahrt ein gegebener Punkt k berührt, bevor man zum ersten Mal den Ursprung wieder erreicht?
Man würde natürlich annehmen, dass der Punkt k seltener berührt wird, je größer der Absolutbetrag der festgehaltenen ganzen Zahl k ist, d.h. je weiter k vom Ursprung entfernt ist.
Überraschenderweise erreicht jedoch die Irrfahrt vor der ersten Rückkehr den Punkt k im Mittel einmal, egal wie groß der der Betrag von k auch sein mag.
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Warum ist das so?
Wie kann ich dieses zeigen?
Gibt es dazu Literatur?
Meine Erklärung wäre, dass Erwartungswert der durchschnittlichen Schrittzahl bis zur Rückkehr unendlich groß ist und daher genug Zeit zur Verfügung steht, um durchschnittlich einmal jeden Punkt der Zahlengerade zu erreichen.
Aber wie zeige ich das Paradoxon?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Man würde natürlich annehmen, dass der Punkt k seltener
> berührt wird, je größer der Absolutbetrag der
> festgehaltenen ganzen Zahl k ist, d.h. je weiter k vom
> Ursprung entfernt ist.
Und wer sagt, dass dem nicht so ist?
Wann soll denn das "Spiel" zu Ende sein? Wenn man das erste Mal wieder zum Ursprung zurück kehrt oder erst bei der unendlichen Rückkehr?
Im ersten Fall wäre nach "Links-Rechts" oder "Rechts-Links" das Spiel bereits zu Ende. Die Chance dafür ist sehr groß.
Im letzeren Fall wäre ja niemals Schluss, und dann kann man auch nicht sagen, wie oft ein Punkt berührt wurde.
>
> Überraschenderweise erreicht jedoch die Irrfahrt vor der
> ersten Rückkehr den Punkt k im Mittel einmal, egal wie groß
> der der Betrag von k auch sein mag.
Was heißt "im Mittel"? Wie wird denn das errechnet? Um das Mittel (Durchschnitt) zu bestimmen, muss man 2 Zahlen durcheinander dividieren. Welche denn??
Vielleicht liegt das Paradoxe lediglich in der Definition von "im Mittel".
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Sa 06.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe das Eperiment mal durchgeführt:
2000 Mal bin ich zufallsbedingt einen Schritt nach links oder rechts gegangen.
Dabei kam ich 74 Mal zum Ursprung zurück.
83 Mal kam ich über die "3".
80 Mal kam ich über die "8".
72 Mal kam ich über die "10".
Und 36 Mal kam ich über die "15".
Interessant weiterhin: Die größte Entfernung vom Ursprung lag bei "23"
Aber wie gesagt: Ich hatte nur 2000 Schritte gemacht (Dann taten mir die Füße weh). Das sind jedoch nur Peanuts gegenüber dem Unendlichen.
> Was heißt "im Mittel"? Wie wird denn das errechnet?
> Um das Mittel (Durchschnitt) zu bestimmen, muss man
> 2 Zahlen durcheinander dividieren. Welche denn??
Es sind die "Zahlen" Unendlich und Unendlich, die man durcheinander dividiert.
Und was kommt da raus? => EINS !!??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 13.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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