Irrfahrt < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mi 27.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Grundraum [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ \omega =(\omega_1 ,.., \omega_N): \omega_i \in \{+1,-1\}, i=1,..,N\}
[/mm]
P-Gleichverteilung
Zuvallsvaribalen [mm] X_i(\omega)= \omega_i [/mm] ,i=1,..,N
[mm] S_k (\omega) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^k X_i (\omega)
[/mm]
[mm] S_o (\omega) [/mm] =0 (Startposition)
k-> [mm] S_k [/mm] heißt einfache Irrfahrt mit N Perioden. |
Hallo
1) Frage zur Verteilung von S:
Für festes k soll die Zufallsvariable [mm] S_k [/mm] Werte [mm] \{-k,-k+2,..,k-2,k\} [/mm] annehmen.
Was ist mit den wert k-1,.., usw. warum werden diese nicht angenommen?
2) [mm] P(S_k [/mm] = 2l -k)= [mm] \vektor{k \\ l} 2^{-k}
[/mm]
[mm] l=\{0,..,k\}
[/mm]
Beweis: [mm] U_k [/mm] = Anzahl der SChritte nach oben bis Zeitpunkt k
[mm] U_k [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^k 1_{\{X_i (\omega)=+1\}}
[/mm]
(mit 1 wird die charakteristische Funktion bezeichnet)
Dann [mm] S_k [/mm] = [mm] U_k [/mm] - (k- [mm] U_k) [/mm] = 2 [mm] U_k [/mm] -k
[mm] P(U_k [/mm] = l)= [mm] \vektor{k\\ l}(\frac{1}{2})^k
[/mm]
Frage: WIe kommt man auf: [mm] P(U_k [/mm] = l)= [mm] \vektor{k\\ l}( \frac{1}{2} )^k
[/mm]
alles andere ist klar im Beweis.
[mm] |\Omega| [/mm] = [mm] 2^{N} [/mm] ist mir klar, aber [mm] |\{ U_k=l\}| [/mm] =?.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> 1) Frage zur Verteilung von S:
> Für festes k soll die Zufallsvariable [mm]S_k[/mm] Werte
> [mm]\{-k,-k+2,..,k-2,k\}[/mm] annehmen.
> Was ist mit den wert k-1,.., usw. warum werden diese nicht
> angenommen?
Jeder von [mm] $S_k$ [/mm] angenommene Wert ist eine Summe von $k$ Zahlen aus [mm] $\{-1,1\}$. [/mm] Da $-1$ und $1$ beide ungerade sind, ist diese Summe im Falle $k$ gerade ebenfalls gerade und im Falle $k$ ungerade ebenfalls ungerade.
> 2) [mm]P(S_k[/mm] = 2l -k)= [mm]\vektor{k \\ l} 2^{-k}[/mm]
> [mm]l=\{0,..,k\}[/mm]
> Beweis: [mm]U_k[/mm] = Anzahl der SChritte nach oben bis Zeitpunkt
> k
> [mm]U_k[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^k 1_{\{X_i (\omega)=+1\}}[/mm]
> (mit 1 wird
> die charakteristische Funktion bezeichnet)
> Dann [mm]S_k[/mm] = [mm]U_k[/mm] - (k- [mm]U_k)[/mm] = 2 [mm]U_k[/mm] -k
> [mm]P(U_k[/mm] = l)= [mm]\vektor{k\\ l}(\frac{1}{2})^k[/mm]
>
> Frage: WIe kommt man auf: [mm]P(U_k[/mm] = l)= [mm]\vektor{k\\ l}( \frac{1}{2} )^k[/mm]
>
> alles andere ist klar im Beweis.
> [mm]|\Omega|[/mm] = [mm]2^{N}[/mm] ist mir klar, aber [mm]|\{ U_k=l\}|[/mm] =?.
[mm] $|\{ U_k=l\}|=\binom{k}{l}2^{N-k}$:
[/mm]
[mm] $\binom{k}{l}$ [/mm] Möglichkeiten, die $l$ Einsen auf die $k$ Plätze zu verteilen
[mm] $2^{N-k}$ [/mm] Möglichkeiten, die Plätze [mm] $k+1,\ldots,N=k+(N-k)$ [/mm] mit $1$ oder $-1$ zu versehen
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 27.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo, danke ;)
> $ [mm] 2^{N-k} [/mm] $ Möglichkeiten, die Plätze $ [mm] k+1,\ldots,N=k+(N-k) [/mm] $ mit $ 1 $ oder $ -1 $ zu versehen
Warum hat man hier noch die Möglichkeit?
Es sollen doch genau l +1 sein. WIeso kannst du dann bei den restlichen noch +1 verteilen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 27.03.2013 | | Autor: | sissile |
Es ist noch eine weitere Frage aufgetaucht im Thema Irrfahrt. Wollte dehalb keinen neuen Thread öffnen um den Anfangstext, nicht nochmals zu schreiben!!
Frage:
2 P( $ [mm] S_{2n-1} [/mm] $ = +1, $ [mm] X_{2n}=-1) [/mm] $ = 1/2 * 2 $ [mm] \cdot{}P(S_{2n-1} [/mm] $ = +1)
Logisch ist es schon da $ [mm] S_{2n -1} [/mm] $ = +1und $ [mm] X_{2n}=-1 [/mm] $ ja nicht voneinander abhängen, aber durch welche mathematische Regel wird das "Außeinanderziehen" erlaubt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Frage:
> 2 P( [mm]S_{2n-1}[/mm] = +1, [mm]X_{2n}=-1)[/mm] = 1/2 * 2 [mm]\cdot{}P(S_{2n-1}[/mm]
> = +1)
> Logisch ist es schon da [mm]S_{2n -1}[/mm] = +1und [mm]X_{2n}=-1[/mm] ja
> nicht voneinander abhängen, aber durch welche
> mathematische Regel wird das "Außeinanderziehen" erlaubt?
Ich würde so argumentieren:
[mm] $A:=\{S_{2n-1}=+1\}$ [/mm] ist die disjunkte Vereinigung von [mm] $B:=\{S_{2_n-1}=+1, X_{2n}=-1\}$ [/mm] und [mm] $C:=\{S_{2_n-1}=+1, X_{2n}=+1\}$. [/mm]
Somit $P(A)=P(B)+P(C)$.
Wenn es nun gelingt, $P(C)=P(B)$ zu zeigen (d.h. $|C|=|B|$), folgt $P(A)=P(B)+P(C)=P(B)+P(B)=2*P(B)$ wie gewünscht.
Um $|C|=|B|$ zu zeigen, geben wir eine Bijektion von $B$ nach $C$ an:
[mm] $f\colon B\to [/mm] C, [mm] \omega\mapsto\omega'$
[/mm]
mit
[mm] $\omega'_i:=\begin{cases} +1 & \mbox{für } i=2n \\ \omega_i & \mbox{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Ich überlasse dir, nachzuprüfen, dass es sich bei $f$ um eine wohldefinierte Bijektion von $B$ nach $C$ handelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]2^{N-k}[/mm] Möglichkeiten, die Plätze [mm]k+1,\ldots,N=k+(N-k)[/mm]
> mit [mm]1[/mm] oder [mm]-1[/mm] zu versehen
> Warum hat man hier noch die Möglichkeit?
> Es sollen doch genau l +1 sein. WIeso kannst du dann bei
> den restlichen noch +1 verteilen?
Es sollen genau l +1 auf den ersten k Plätzen sein (siehe Definition von [mm] $U_k$). [/mm] Danach können sehr wohl weitere +1 folgen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 27.03.2013 | | Autor: | sissile |
AH.. Kapiert XD
Es steht danach in meinen Skriptum noch eine Behauptung:
k-> [mm] P(S_n [/mm] =k) hat Mximum in k=0 für n gerade und in k=+1,-1 für n ungerade.
Als Erklärung steht: [mm] \frac{P(S_n =2k-n)}{P(S_n = 2k + 2 -n)} [/mm] = [mm] \frac{\vektor{n\\ k} 2^{-n}}{\vektor{n \\ k+1} 2^{-n}}= \frac{k+1}{n-k} [/mm]
Ich verstehe die Behaputung nicht wirklich? Was bedeutet diese? Und inwiefern die Erklärung zu der Behauptung passt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Do 28.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Es steht danach in meinen Skriptum noch eine Behauptung:
> k-> [mm]P(S_n[/mm] =k) hat Mximum in k=0 für n gerade und in
> k=+1,-1 für n ungerade.
>
> Ich verstehe die Behaputung nicht wirklich? Was bedeutet
> diese?
Wenn man ein "Teilchen" eine solche Irrfahrt durchführen lässt: Wo (für welches k) landet das Teilchen nach n Schritten mit der größten Wahrscheinlichkeit [mm] ($P(S_n=k)$)? [/mm] Die Behauptung sagt nun: Am häufigsten landet das Teilchen "nächstmöglich" zum Ausgangspunkt 0, nämlich für gerades n beim Ausgangspunkt k=0 selbst bzw. direkt daneben (k=+1,-1) für ungerades n.
> Als Erklärung steht: [mm]\frac{P(S_n =2k-n)}{P(S_n = 2k + 2 -n)}[/mm]
> = [mm]\frac{\vektor{n\\ k} 2^{-n}}{\vektor{n \\ k+1} 2^{-n}}= \frac{k+1}{n-k}[/mm]
>
> Und inwiefern die Erklärung zu der Behauptung passt?
Puh, die Erklärung ist wirklich sehr knapp gehalten und dazu ist unglücklicherweise darin k in einer anderen Bedeutung verwendet als in der Behauptung. Ich verwende im Folgenden den Buchstaben i für das k aus der Erklärung.
Sei
[mm] $g\colon\{-n,-n+2,\ldots,n-2,n\}\to[0,1],\quad k\mapsto P(S_n=k)$
[/mm]
die Abbildung, deren globale Maximalstellen wir suchen.
Dazu untersuchen wir zunächst die Abbildung
[mm] $h\colon\{0,\ldots,n\}\to[0,1],\quad i\mapsto P(S_n=2i-n)$
[/mm]
auf globale Maximalstellen.
Dazu wiederum untersuchen wir zunächst das Monotonieverhalten dieser Abbildung.
Typischer Trick dafür, da der Definitionsbereich aus ganzen Zahlen besteht: Es genügt, die Funktionswerte benachbarter Stellen zu vergleichen.
Für [mm] $i\in\{0,\ldots,n-1\}$ [/mm] gelten folgende Äquivalenzen:
$h(i)<h(i+1)$
[mm] $\gdw\quad P(S_n=2i-n)
[mm] $\gdw\quad \bruch{P(S_n=2i-n)}{P(S_n=2i+2-n)}<1$
[/mm]
[mm] $\gdw\quad \bruch{i+1}{n-i}<1$
[/mm]
[mm] $\gdw\quad [/mm] i+1<n-i$
[mm] $\gdw\quad [/mm] 2i<n-1$
[mm] $\gdw\quad i<\bruch{n}{2}-\bruch12$
[/mm]
Selbige Äquivalenzen gelten auch, wenn man überall $<$ durch $>$ oder durch $=$ ersetzt.
Beachte für das zweite und vierte Äquivalenzzeichen [mm] $P(S_n=2i+2-n)>0$ [/mm] bzw. $n-i>0$. Das dritte Äquivalenzzeichen nutzt gerade eure Erklärung.
Somit gilt im Falle n gerade:
$h(i)<h(i+1)$ für alle [mm] $i=0,\ldots,\bruch{n}{2}-1$ [/mm] und $h(i)>h(i+1)$ für alle [mm] $i=\bruch{n}{2},\ldots,n-1$.
[/mm]
Also wächst h streng monoton im Bereich [mm] $\{0,\ldots,\frac{n}{2}\}$ [/mm] und fällt streng monoton im Bereich [mm] $\{\frac{n}{2},\ldots,n\}$.
[/mm]
Daher nimmt h genau an der Stelle [mm] $i=\frac{n}{2}$ [/mm] den größten Wert an.
Jetzt gilt es, sozusagen die Aussage über globale Maximalstellen von h in eine Aussage über globale Maximalstellen von $g$ zu "übersetzen":
Jedes $k$ aus dem Definitionsbereich von $g$ lässt sich eindeutig in der Form [mm] $k=2*i_k-n$ [/mm] für ein [mm] $i_k$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von $h$ schreiben und die Zuordnung [mm] $k\mapsto i_k$ [/mm] ist bijektiv.
Somit ist $k$ eine Maximalstelle von $g$ genau dann, wenn [mm] $i_k$ [/mm] eine Maximalstelle von $h$ ist.
Wiederum im Falle n gerade ist also $k$ eine Maximalstelle von $g$ genau dann, wenn [mm] $i_k=\bruch{n}{2}$, [/mm] also genau dann, wenn [mm] $k=2*\underbrace{\bruch{n}{2}-n}_{=0}$.
[/mm]
Genau das wollten wir zeigen.
Den Fall n ungerade überlasse ich dir... 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 29.03.2013 | | Autor: | sissile |
Wow, hätte der Lehrer das mal so präsentiert...
Ich hab noch eine Frage dazu:
> $ h(i)<h(i+1) $ für alle $ [mm] i=0,\ldots,\bruch{n}{2}-1 [/mm] $ und $ h(i)<h(i+1) $ für alle $ [mm] i=\bruch{n}{2},\ldots,n-1 [/mm] $.
> Also wächst h streng monoton im Bereich $ [mm] \{0,\ldots,\frac{n}{2}\} [/mm] $ und fällt streng monoton im Bereich $ [mm] \{\frac{n}{2},\ldots,n\} [/mm] $.
Woher weißt du durch erste AUssage dass h steigt streng monoton im Bereich $ [mm] \{0,\ldots,\frac{n}{2}\} [/mm] $ und fällt streng monoton im Bereich $ [mm] \{\frac{n}{2},\ldots,n\} [/mm] $ ist. ALso wieso darfst du das n/2 auch bei streng monoton steigend dazugeben??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 29.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]h(i)
> [mm]h(i)
Gemeint hatte ich natürlich:
[mm]h(i)
[mm]h(i)\red>h(i+1)[/mm] für alle [mm]i=\bruch{n}{2},\ldots,n-1 [/mm].
Ich habe das verdrehte Ungleichheitszeichen in meiner letzten Antwort nun korrigiert.
> > Also wächst h streng monoton im Bereich
> [mm]\{0,\ldots,\frac{n}{2}\}[/mm] und fällt streng monoton im
> Bereich [mm]\{\frac{n}{2},\ldots,n\} [/mm].
>
> Woher weißt du durch erste AUssage dass h steigt streng
> monoton im Bereich [mm]\{0,\ldots,\frac{n}{2}\}[/mm] und fällt
> streng monoton im Bereich [mm]\{\frac{n}{2},\ldots,n\}[/mm] ist.
> ALso wieso darfst du das n/2 auch bei streng monoton
> steigend dazugeben??
"$h(i)<h(i+1)$ für alle [mm] $i=0,\ldots,\bruch{n}{2}-1$" [/mm] bedeutet: [mm] $h(0)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Fr 29.03.2013 | | Autor: | sissile |
Verstehe ;)
-) n ungerade
h(i) < h(i+1) [mm] \forall [/mm] i=0,..,n/2 - 1/2
h(i) > h(i+1) [mm] \forall [/mm] i = n/2 +1/2 ,.., n
-> h nimmt an Stelle i= n/2 +1/2 den größten Wert an
->k= 2* (n/2 +1/2 ) -n
->k= n+1-n =1
Wie komme ich noch auf k =-1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:11 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> -) n ungerade
> h(i) < h(i+1) [mm]\forall[/mm] i=0,..,n/2 - 1/2
> h(i) > h(i+1) [mm]\forall[/mm] i = n/2 +1/2 ,.., n
$h(i)<h(i+1)$ gilt nicht für $i=n/2-1/2$.
> -> h nimmt an Stelle i= n/2 +1/2 den größten Wert an
>
> ->k= 2* (n/2 +1/2 ) -n
> ->k= n+1-n =1
Folgerichtig.
> Wie komme ich noch auf k =-1 ?
Indem du den obigen Fehler korrigierst...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 30.03.2013 | | Autor: | sissile |
Ich hab versucht das mittels eines Bsp zu verstehen: n=9, i < 9/2 -1/2 =4 <=> i <= 3
Also kam ich auf
-) n ungerade
h(i) < h(i+1) $ [mm] \forall [/mm] $ i=0,..,n/2 - 3/2
h(i) > h(i+1) $ [mm] \forall [/mm] $ i = n/2 - 1/2 ,.., n
Dies würde mich auf k=-1 bringen. ALso fehlt mir die k=+1.
Ich bin mir unsicher, und weiß nicht wie ich das anders machen sollte, als mit einem Bsp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab versucht das mittels eines Bsp zu verstehen: n=9, i
> < 9/2 -1/2 =4 <=> i <= 3
Ja. Und $i>4$ genau dann, wenn [mm] $i\ge [/mm] 5$.
> Also kam ich auf
> -) n ungerade
> h(i) < h(i+1) [mm]\forall[/mm] i=0,..,n/2 - 3/2
Genau. $h(i)<h(i+1)$ gilt für [mm] $i\in\{0,\ldots,n-1\}$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $i<\underbrace{n/2-1/2}_{\in\IN_0}$, [/mm] was wiederum genau dann der Fall ist, wenn [mm] $i\le [/mm] (n/2-1/2)-1$.
> h(i) > h(i+1) [mm]\forall[/mm] i = n/2 - 1/2 ,.., n
Nicht ganz. $h(i)<h(i+1)$ gilt für [mm] $i\in\{0,\ldots,n-1\}$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $i>\underbrace{n/2-1/2}_{\in\IN_0}$, [/mm] was wiederum genau dann der Fall ist, wenn [mm] $i\ge [/mm] (n/2-1/2)+1$.
Für $i=n/2-1/2$ gilt $h(i)=h(i+1)$ (gemäß der <=>-Kette aus einer vorigen Antwort von mir mit "=" statt "<").
> Dies würde mich auf k=-1 bringen. ALso fehlt mir die
> k=+1.
Wahrscheinlich kommst du nach Korrektur des obigen Fehlers selbst auf das richtige Ergebnis! 
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