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| Aufgabe | Sei K ein Körper, sei
f(X; Y ) = [mm] Y^m [/mm] + [mm] f_{m-1} (X)Y^{m-1} [/mm] + : : : + [mm] f_{m}(X), [/mm] fi(X) [mm] \in [/mm] K[X];
m [mm] \ge [/mm] 1 ein irreduzibles Polynom in K[X, Y ].
1) Zeigen Sie, dass der Ringhomomorphismus [mm] \pi: [/mm] K[X] [mm] \to [/mm] R = K[X,Y] /<f>,
der eindeutig durch [mm] \piI_{K} [/mm] = [mm] idI_{K}; \pi [/mm] (X) = X definiert ist, injektiv
ist.
2) Zeigen Sie, dass [mm] \pi [/mm] zu einem Körperomomorphismus [mm] \pi' [/mm] : K(X) [mm] \to [/mm] L := Quot(R) fortsetzbar ist.
3) Zeigen Sie, dass K(X) [mm] \subset [/mm] L algebraisch und vom endlichen Typ
ist, dass aber L [mm] \supset [/mm] K nicht algebraisch ist, jedoch vom endlichen
Typ. |
Hallo Leute,
ich hab mal wieder ein Problem...bei der Aufgabe verzweifel ist total. Kann mir jemand von euch mal eine Hilfestellung geben?
Vielen Dank schonmal!
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Sa 05.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabine!
> Sei K ein Körper, sei
> f(X; Y ) = [mm]Y^m[/mm] + [mm]f_{m-1} (X)Y^{m-1}[/mm] + : : : + [mm]f_{m}(X),[/mm]
> fi(X) [mm]\in[/mm] K[X];
> m [mm]\ge[/mm] 1 ein irreduzibles Polynom in K[X, Y ].
> 1) Zeigen Sie, dass der Ringhomomorphismus [mm]\pi:[/mm] K[X] [mm]\to[/mm] R
> = K[X,Y] /<f>,
Seien $x$ und $y$ die Restklassen von $X$ und $Y$ in $R$. Dann ist $R = K[x, y]$, und es gilt $F(x, y) = 0$.
> der eindeutig durch [mm]\piI_{K}[/mm] = [mm]idI_{K}; \pi[/mm] (X) = X
> definiert ist, injektiv
> ist.
Weisst du, wie [mm] $\pi$ [/mm] aussieht? Was ist etwa [mm] $\pi(X^2 [/mm] + 5 X + 1)$?
Damit [mm] $\pi$ [/mm] injektiv ist, muss [mm] $\ker \pi [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] sein. Was bedeutet es fuer ein $f [mm] \in [/mm] K[X]$, wenn [mm] $\pi(f) [/mm] = 0$ ist? Kannst du irgendwie daraus folgern, dass dann $f = 0$ sein muss?
> 2) Zeigen Sie, dass [mm]\pi[/mm] zu einem Körperomomorphismus [mm]\pi'[/mm]
> : K(X) [mm]\to[/mm] L := Quot(R) fortsetzbar ist.
Du kannst dir ueberlegen, dass fuer $P, Q [mm] \in [/mm] K[X]$ mit $Q [mm] \neq [/mm] 0$ gelten muss [mm] $\pi'(P/Q) [/mm] = [mm] \pi(P) [/mm] / [mm] \pi(Q)$. [/mm] Also versuch [mm] $\pi'$ [/mm] so zu definieren; zeige dann, dass es wohldefiniert ist und einen Koerperhomomorphismus ergibt. Warum ist es dann bereits ein Monomorphismus?
> 3) Zeigen Sie, dass K(X) [mm]\subset[/mm] L algebraisch und vom
> endlichen Typ ist,
> dass aber L [mm]\supset[/mm] K nicht algebraisch ist, jedoch
> vom endlichen Typ.
Beachte, dass $L = K(x, y)$ ist. Und das Bild von $K(X)$ in $L$ ist $K(x) [mm] \cong [/mm] K(X)$.
LG Felix
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