Irreduzibles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Das Polynom [mm] $f(X)=X^4+X^3-2X^2+X-2$ [/mm] ist irreduzibel über [mm] \IQ. [/mm] |
Hallo,
ich hab mir da jetzt folgendes überlegt.
Zuerst einmal reduzier ich das Polynom Modulo 3. [mm] ($\IF_{3}[X]=X^4+X^3+X^2+X+1$) [/mm] Dann schaue ich, ob es eine Nullstelle modulo 3 gibt, indem ich 0, 1 und 2 einsetze, wobei ich hier keine Nullstelle finde.
Dann dividiere ich [mm] $\IF_{3}[X]$ [/mm] durch die irreduziblen Polynome zweiten Grades in [mm] $\IF_{3}$. ($x^2+x+2$, $x^2+2x+2$ [/mm] und [mm] $x^2+1$)
[/mm]
Nun bekomm ich bei Division nur Polynome mit Rest raus.
Daraus folgere ich dass man das Polynom [mm] \IF_3[X] [/mm] nicht weiter zerlegen kann in Polynome kleineren Grades.
Stimmt das?
Und bin ich dann fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hippias |
Ja, damit haettest Du die Irreduzibilitaet von $f$ ueber [mm] $\IZ_{3}$ [/mm] nachgewiesen. Dann waere $f$ auch in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] irreduzibel und nach dem Lemma von Gauss auch ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Jedoch:
[mm] $X^4+X^3+X^2+X+1$ [/mm] hat in [mm] $\IF_{3}$ [/mm] die Nullstelle $-1$.
Vielleicht fuehrt ein Zerlegungsansatz ueber [mm] $\IZ$ [/mm] mit quadratischen Polynomen auch schnell zum Erfolg?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Mi 21.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Jedoch:
> [mm]X^4+X^3+X^2+X+1[/mm] hat in [mm]\IF_{3}[/mm] die Nullstelle [mm]-1[/mm].
nein, hat es nicht: wenn man -1 einsetzt, steht da $1 + -1 + 1 + -1 + 1 = 1$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hippias |
Ich bin so ein gutaussehender Dussel!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 23.03.2012 | | Autor: | felixf |
> Ich bin so ein gutaussehender Dussel!
Mathematiker und konkrete Zahlen. Man erwartet nichts anderes 
LG Feilx
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