Irreduzible Polynome in Q[X] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:15 Fr 19.04.2024 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | Welches der folgenden Polynome ist irreduzibel in [mm] \mathbb{Q}[X] [/mm] und warum?
a) 4 [mm] X^{2}+8 [/mm]
b) 3 [mm] X^{4}+6 [/mm] X+6
c) [mm] X^{4}-7 X^{2}+5 [/mm] X-3
d) 6 [mm] X^{10}-15 X^{6}+1 [/mm]
e) [mm] X^{4}-5 X^{3}+2 [/mm] X+3 |
Hallo,
Die Irreduzibilität eines Polynoms kann man ja mit dem Eisenstein-Kriterium:
Gibt es ein Primideal [mm] \mathfrak{p} \in [/mm] R , sodass
[mm] \begin{aligned}
f_{i} \equiv 0 \quad(\bmod \mathfrak{p}), \quad i>0, \\
f_{n} \not \equiv 0 \quad\left(\bmod \mathfrak{p}^{2}\right),
\end{aligned}
[/mm]
so ist f irreduzibel.
Wenn ich richtig liege, müssten a), und b) schon mal NICHT irreduzibel sein, da diese jeweils als Produkt zweier Polynome geschrieben werden können?
Bleibt also noch c), d) und e) zu untersuchen:
d)
f0=1, f1=-15, f3=6. Wenn man hier p=3 wählt, teilt 3 die 15, aber auch die 6 - somit ist das Kriterium nicht anwendbar?
c)
f0=-3; f1=5, f2=-7 und f4=1. Hier bräuchte ich also eine Primzahl, welche 5 und -7 teilt und für ^2 nicht -3.
b)
f0=3, f1=2, f2=-5, f3=1. Hier bräuchte ich also eine Primzahl, welche 2 und -5 teilt und für ^2 nicht 3.
Irgendwie verstehe ich das jetzt nicht bzw. wie ist weiter vorzugehen? Nach Aufgabenstellung müsste ja dann eines dieser Polynome irreduzibel in Q[X] sein!
Danke schon mal für Erklärungen im Voraus :)
LG Euler
"Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 21.04.2024 | | Autor: | meili |
Hallo Euler123,
wenn ein Polynom das Eisenstein-Kriterium erfüllt, ist es irreduzibel in [mm] $\IQ[X]$.
[/mm]
Wenn ein Polynom das Eisenstein-Kriterium nicht erfüllt,
kann es sowohl reduzibel als auch irreduzibel sein.
a) [mm] $4X^2+8 =4*(X^2+2)$
[/mm]
b) [mm] $3X^4+6X+6 [/mm] = [mm] 3*(X^4+2X+2)$
[/mm]
c) [mm] $X^4-7X^2+5X-3 [/mm] = [mm] (X^3-3X^2+2X-1)*(X+3)$
[/mm]
d) und e) erfüllen das Eisenstein-Kriterium nicht.
Gibt es Zerlegungen für d) und e)?
Ich habe keine gefunden.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 So 21.04.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hi melli,
Danke dir für deine Antwort - dann hatte ich das ja soweit richtig verstanden, wie ich sehe. Für d) und e) hätte ich jetzt auch keine Zerlegung gefunden und das Eisensteinkriterium ist also wirklich nicht anwendbar.
Nach Aufgabenstellung sollte ja eines der Polynome irreduzibel in Q[X] sein (das sollte somit d) oder e) sein??) - wie kann ich diese jetzt aber weiter untersuchen, und herausfinden, welches das irreduzible ist?
LG Euler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 22.04.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Danke dir für deine Antwort - dann hatte ich das ja soweit
> richtig verstanden, wie ich sehe. Für d) und e) hätte ich
> jetzt auch keine Zerlegung gefunden und das
> Eisensteinkriterium ist also wirklich nicht anwendbar.
Ich möchte meilis Antwort noch mal subsumieren:
a) und b) sind irreduzibel, weil 3 und 4 in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] Einheiten sind.
c) ist reduzibel, weil meili eine Zerlegung gefunden hat.
Für den Rest braucht man ja noch einen richtigen Beweis!
Bei d) könnte man die Substitution X=1/Z versuchen und dann p=3 für das Eisenstein-Kriterium nehmen.
Wenn es bei e) einen linearen Faktor gäbe, hätte man eine Nullstelle, die sogar in [mm] $\IZ$ [/mm] läge, weil das Polynom primitiv ist. Die gibt es aber nicht, wie man durch Probieren herausfindet. Und der Ansatz mit 2 quadratischen Faktoren führt ebenfalls zu einem Widerspruch, also sind d) und e) irreduzibel.
>
> Nach Aufgabenstellung sollte ja eines der Polynome
> irreduzibel in Q[X] sein (das sollte somit d) oder e)
> sein??) - wie kann ich diese jetzt aber weiter untersuchen,
> und herausfinden, welches das irreduzible ist?
Woraus schließt du das?
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:49 Mo 22.04.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Dieter,
Danke dir für deine Antwort - auch wenn ich die Thematik immer noch nicht begriffen habe, ist sie mir jetzt ein wenig klarer (denke ich :)).
Ich bin Anfangs davon Ausgegengen, dass nur eines dieser Polynome irreduzibel sein kann bzw. sollte, da in der Aufgabenstellung eindeutig "Welches" steht und nicht "Welche" - das kann aber ja auch wieder mal nur eine schlecht getroffene Formulierung seitens des Aufgabenstellers sein.
Wenn ich dich richtig verstanden habe sind also a) und b) irreduzibel, weil 3 und 4 Einheiten in Q[x] - Kann ich hierbei auch sagen, weil sie sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbaren Polynome schreiben lassen?
c) ist mit der Zerlegung reduzibel.
Mit den letzten beiden werde ich mich jetzt dann nochmals beschäftigen ( e) (Hier mit dem Eisensteinkriterium( und d) sollen also ebenfalls irreduzibel sein?)
LG Euler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Di 23.04.2024 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich bin Anfangs davon Ausgegengen, dass nur eines dieser
> Polynome irreduzibel sein kann bzw. sollte, da in der
> Aufgabenstellung eindeutig "Welches" steht und nicht
> "Welche" - das kann aber ja auch wieder mal nur eine
> schlecht getroffene Formulierung seitens des
> Aufgabenstellers sein.
In Mathespeak bedeutet '1' immer 'mindestens 1', sonst muß es 'genau 1' heißen; entsprechend für die Fragepronomen.
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe sind also a) und b)
> irreduzibel, weil 3 und 4 Einheiten in Q[x] - Kann ich
> hierbei auch sagen, weil sie sich nicht als Produkt zweier
> nicht invertierbaren Polynome schreiben lassen?
Es ist ja auch 7 = 1 x 7 = (-1) x (-7) in Z, obwohl 7 eine Primzahl ist. Einheiten kann ich immer ausklammern.
>
> c) ist mit der Zerlegung reduzibel.
>
> Mit den letzten beiden werde ich mich jetzt dann nochmals
> beschäftigen ( e) (Hier mit dem Eisensteinkriterium( und
> d) sollen also ebenfalls irreduzibel sein?)
Mach das, und frag gerne wieder nach.
LG Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mi 24.04.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hi Dieter,
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe - habe es geschafft alles zu lösen.
Ich möchte mir noch eine kleine Anmerkung zu a) und b) erlauben bzw. die Musterlösung preisgeben. Nach dieser soll man eben nicht mit den Einheiten argumentieren, sondern:
Bei a) - Das Polynom kann nicht in eines von kleineren Grad zerlegt werden
Bei b) - Mit Eisenstein zeigen, dass es irreduzibel in Z ist und anschließend mit dem Satz von Gauß, dass es eben auch in Q irreduzibel ist
LG Euler und Danke!
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