Irreduzibilität von < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mi 26.01.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Untersuche, ob die folgenden Polynome irreduzibel sind. Falls nicht, so gib eine Zerlegung in irreduzible Faktoren an:
a) [mm] $x^5+8x^4+6x^2-12x+10$ [/mm] über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm]
b) [mm] $10x^5-12x^4+6x^2+8x+x^5$ [/mm] über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm]
c) [mm] $x^4 [/mm] +1$ über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm]
d) [mm] $x^8-16$ [/mm] über [mm] $\mathbb{C}$ [/mm]
e) [mm] $X^{p-1}-1 [/mm] $ über [mm] $\mathbb{Z} /p\mathbb{Z}.$ [/mm] Folgere daraus d3n Satz von Wilson:
$(p-1)! [mm] \equiv [/mm] -1 mod p$ |
zu a): Betrachte p= 2, so folgt mit dem Eisenstein"kriterium" sofort die Irreduzibilität, da 2 die Koeffizienten 8,6, -12 nicht aber 1 teilt und [mm] $p^2=4$ [/mm] nicht 10 teilt, wie verlangt.
zu b) es ist nicht bekannt, ob der Summand [mm] $x^5$ [/mm] am Schluss ein Druckfehler ist oder nicht, doch nehme ich mal an, es ist so gemeint. Dann handelt es sich wieder mit $p=2$ und dem Eisensteinsatz um ein irreduzibles Polynom.
zu c) eine beliebige Primzahl reicht aus und man sieht (wieder nach Eisenstein) sofort, dass es irreduzibel ist.
zu d) auch irreduzibel, mit $p=2$ z.B.
e) weiß ich nicht, wie man das faktorisieren können soll bzw. welcher Satz hier weiterhilft, etwa der Satz von Gauß?
Ich hätte eine allgemeine Frage zum Eisensteinkriterium: Wenn ich das Polynom $p(x) = [mm] x^2 [/mm] - 1$ betrachte, dann erhalte ich ja durch Eisenstein wieder die Irreduzibilität, da ja bei $p=2$ alle [mm] $a_i$ [/mm] von $p$ geteilt werden bis auf das erste und das letzte. Jedoch widerspricht das der Zerlegbarkeit in Linearfaktoren durch (x+1)(x-1). Liegt da vielleicht eine Denklücke im Eisensteinkriterium oder habe ich nur den Satz falsch angewendet?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 26.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Untersuche, ob die folgenden Polynome irreduzibel sind.
> Falls nicht, so gib eine Zerlegung in irreduzible Faktoren
> an:
> a) [mm]x^5+8x^4+6x^2-12x+10[/mm] über [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> b) [mm]10x^5-12x^4+6x^2+8x+x^5[/mm] über [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> c) [mm]x^4 +1[/mm] über [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> d) [mm]x^8-16[/mm] über [mm]\mathbb{C}[/mm]
> e) [mm]X^{p-1}-1[/mm] über [mm]\mathbb{Z} /p\mathbb{Z}.[/mm] Folgere daraus
> d3n Satz von Wilson:
> [mm](p-1)! \equiv -1 mod p[/mm]
>
> zu a): Betrachte p= 2, so folgt mit
> dem Eisenstein"kriterium" sofort die Irreduzibilität, da 2
> die Koeffizienten 8,6, -12 nicht aber 1 teilt und [mm]p^2=4[/mm]
> nicht 10 teilt, wie verlangt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b) es ist nicht bekannt, ob der Summand [mm]x^5[/mm] am Schluss
> ein Druckfehler ist oder nicht, doch nehme ich mal an, es
> ist so gemeint. Dann handelt es sich wieder mit [mm]p=2[/mm] und dem
> Eisensteinsatz um ein irreduzibles Polynom.
Welches Polynom soll es denn nun sein? Das ist hier gerade voellig unklar, was du meinst.
Solange kein konstanter Term da ist, kannst du das Polynom durch $x$ teilen.
> zu c) eine beliebige Primzahl reicht aus und man sieht
> (wieder nach Eisenstein) sofort, dass es irreduzibel ist.
Nein, eben nicht. 1 ist schliesslich nicht durch irgendeine Primzahl teilbar!
Du musst hier anders vorgehen.
> zu d) auch irreduzibel, mit [mm]p=2[/mm] z.B.
Nein. Lies dir mal genau den Satz ueber das Eisensteinkriterium durch. Du vergisst hier etwas sehr wichtiges.
> e) weiß ich nicht, wie man das faktorisieren können soll
> bzw. welcher Satz hier weiterhilft, etwa der Satz von
> Gauß?
Ja, der hilft dir hier weiter. Schau dir doch mal das ganze fuer $p = 2, 3, 5$ an. Faellt dir etwas auf? Versuche das ganz allgemein zu beweisen.
> Ich hätte eine allgemeine Frage zum Eisensteinkriterium:
> Wenn ich das Polynom [mm]p(x) = x^2 - 1[/mm] betrachte, dann erhalte
> ich ja durch Eisenstein wieder die Irreduzibilität,
Nein.
> da ja
> bei [mm]p=2[/mm] alle [mm]a_i[/mm] von [mm]p[/mm] geteilt werden bis auf das erste und
> das letzte.
Ja, und das letzte wird eben nicht durch 2 geteilt, was aber eine Voraussetzung fuer das Eisensteinkriterium waer! Damit kannst du das Kriterium hier nicht anwenden.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ich habe nun c) durch die Zerlegung [mm] $x^4-1= (x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1) [/mm] $ zu lösen versucht. Dies müsste doch für den Beweis der Nichtirreduzibilität ausreichen. Ich weiß nur nicht, wie man schaut, ob die einzelnen Faktoren irreduzibel sind. Habt ihr da einn Hinweis für mich?
Ich meine, klar, es gibt hier keine (reellen) Nullstellen. Dies ist aber wegen dem (Gegen-)Beispiel [mm] $x^4 [/mm] +2x+ 1 [mm] =(x^2+1)^2$ [/mm] nicht hinreichend für die gänzliche Irreduzibilität (da ja ersichtlich das Polynom [mm] $x^2+1$ [/mm] keine reellen Nullstellen hat)...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 28.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
