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| Aufgabe | Seien [mm] $p:=X^3+X^2-2X+1\in\mathbb{Q}[x]$.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass $p$ irreduzibel ist.
Sei [mm] $\Theta$ [/mm] eine Nulsstelle von $p$ in einer Körpererweiterung von [mm] $\mathbb{Q}$
[/mm]
(b) Schreiben Sie [mm] $(\Theta^2-1)^{-1}$ [/mm] und [mm] $\Theta^5$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $1,\Theta,\Theta^2$
[/mm]
(c) Zeigen Sie, dass [mm] $\mathbb{Q}(\Theta)=\mathbb{Q}(\Theta^2-1). [/mm] |
Guten Tag zusammen,+
ich sitze schon eine weile an der Aufgabe, aber komme irgendwie nicht weiter.
Ich bin noch bei der (a) und habe bisher folgendes:
Ich habe die Koeffizienten modulo 2 reduziert und habe das Polynom [mm] $p_{\mathbb{F}_2}=X^3+X^2+1$ [/mm] erhalten.
Dieses habe ich auf Nullstellen geprüft:
[mm] $p_{\mathbb{F}_2}(0)=1, p_{\mathbb{F}_2}(1)=1$ [/mm] somit hat [mm] $p_{\mathbb{F}_2}$ [/mm] keine Nullstellen in [mm] $\mathbb{F}_2$.
[/mm]
Somit besitzt es keine Linearfaktoren, in die man [mm] $p_{\mathbb{F}_2}$ [/mm] aufspalten könnte.
Wäre [mm] $p_{\mathbb{F}_2}$ [/mm] reduzibel, so muss es, da es in irreduzible Faktoren zerfällt, nach der Gradformel einen irreduziblen Teiler vom Grad 2 haben. Das Polynom [mm] $X^2+X+1$ [/mm] ist das einzige irreduzible Polynom in [mm] $\mathbb{F}_2$.
[/mm]
Mit Polynomdivision erhält man:
[mm] $X^3+X^2+1=X(X^2+X+1)-X+1$
[/mm]
Demnach ist [mm] $p_{\mathbb{F}_2}$ [/mm] über [mm] $\mathbb{F}_2$, [/mm] somit auch über [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] und nach Gauß auch über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] irreduzibel.
Ist das so richtig?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 02.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]p:=X^3+X^2-2X+1\in\mathbb{Q}[x][/mm].
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]p[/mm] irreduzibel ist.
> Sei [mm]\Theta[/mm] eine Nulsstelle von [mm]p[/mm] in einer
> Körpererweiterung von [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> (b) Schreiben Sie [mm](\Theta^2-1)^{-1}[/mm] und [mm]\Theta^5[/mm] als
> Linearkombination von [mm]1,\Theta,\Theta^2[/mm]
> (c) Zeigen Sie, dass
> [mm]$\mathbb{Q}(\Theta)=\mathbb{Q}(\Theta^2-1).[/mm]
>
> Guten Tag zusammen,+
>
> ich sitze schon eine weile an der Aufgabe, aber komme
> irgendwie nicht weiter.
> Ich bin noch bei der (a) und habe bisher folgendes:
>
> Ich habe die Koeffizienten modulo 2 reduziert und habe das
> Polynom [mm]p_{\mathbb{F}_2}=X^3+X^2+1[/mm] erhalten.
> Dieses habe ich auf Nullstellen geprüft:
> [mm]p_{\mathbb{F}_2}(0)=1, p_{\mathbb{F}_2}(1)=1[/mm] somit hat
> [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] keine Nullstellen in [mm]\mathbb{F}_2[/mm].
> Somit besitzt es keine Linearfaktoren, in die man
> [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] aufspalten könnte.
> Wäre [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] reduzibel, so muss es, da es in
> irreduzible Faktoren zerfällt, nach der Gradformel einen
> irreduziblen Teiler vom Grad 2 haben. Das Polynom [mm]X^2+X+1[/mm]
> ist das einzige irreduzible Polynom in [mm]\mathbb{F}_2[/mm].
> Mit Polynomdivision erhält man:
> [mm]X^3+X^2+1=X(X^2+X+1)-X+1[/mm]
> Demnach ist [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] über [mm]\mathbb{F}_2[/mm], somit
> auch über [mm]\mathbb{Z}[/mm] und nach Gauß auch über [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> irreduzibel.
Genau.
> Ist das so richtig?
Ja.
LG Felix
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> Moin!
>
> > Seien [mm]p:=X^3+X^2-2X+1\in\mathbb{Q}[x][/mm].
> > (a) Zeigen Sie, dass [mm]p[/mm] irreduzibel ist.
> > Sei [mm]\Theta[/mm] eine Nulsstelle von [mm]p[/mm] in einer
> > Körpererweiterung von [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> > (b) Schreiben Sie [mm](\Theta^2-1)^{-1}[/mm] und [mm]\Theta^5[/mm] als
> > Linearkombination von [mm]1,\Theta,\Theta^2[/mm]
> > (c) Zeigen Sie, dass
> > [mm]$\mathbb{Q}(\Theta)=\mathbb{Q}(\Theta^2-1).[/mm]
> >
> > Guten Tag zusammen,+
> >
> > ich sitze schon eine weile an der Aufgabe, aber komme
> > irgendwie nicht weiter.
> > Ich bin noch bei der (a) und habe bisher folgendes:
> >
> > Ich habe die Koeffizienten modulo 2 reduziert und habe das
> > Polynom [mm]p_{\mathbb{F}_2}=X^3+X^2+1[/mm] erhalten.
> > Dieses habe ich auf Nullstellen geprüft:
> > [mm]p_{\mathbb{F}_2}(0)=1, p_{\mathbb{F}_2}(1)=1[/mm] somit hat
> > [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] keine Nullstellen in [mm]\mathbb{F}_2[/mm].
> > Somit besitzt es keine Linearfaktoren, in die man
> > [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] aufspalten könnte.
> > Wäre [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] reduzibel, so muss es, da es in
> > irreduzible Faktoren zerfällt, nach der Gradformel einen
> > irreduziblen Teiler vom Grad 2 haben. Das Polynom [mm]X^2+X+1[/mm]
> > ist das einzige irreduzible Polynom in [mm]\mathbb{F}_2[/mm].
> > Mit Polynomdivision erhält man:
> > [mm]X^3+X^2+1=X(X^2+X+1)-X+1[/mm]
> > Demnach ist [mm]p_{\mathbb{F}_2}[/mm] über [mm]\mathbb{F}_2[/mm], somit
> > auch über [mm]\mathbb{Z}[/mm] und nach Gauß auch über [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> > irreduzibel.
>
> Genau.
>
> > Ist das so richtig?
>
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich bin nun beim Bearbeiten der b) und verzweifle fast :D
Ich habe für [mm] $\Theta^5$ [/mm] die Linearkombination [mm] $\Theta^5=3*1+7*\Theta-6*\Theata^2$ [/mm] heraus bekommen.
Diese müsste denke ich stimmen.
Jedoch bei der Linearkombination von [mm] $(\Theta^2-1)^{-1}$ [/mm] komme ich nicht weiter.
Ich wollte das mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus machen.
Wenn ich das jedoch mache, also:
[mm] $ggT(p,(x^2-1))=1$ [/mm] da p irreduzibel.
Wenn ich diesen nun jedoch berechne:
[mm] $x^3+x^2-2x+1=(x+1)(x^2-1)+(2-x)$
[/mm]
[mm] $(x^2-1)=(-x-2)(2-x)-3$
[/mm]
[mm] $(2-x)=(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3})*(-3)+0$
[/mm]
Somit wäre aber doch [mm] $ggT(p,(x^2-1))=-3$ [/mm] und nicht 1.
und so kann ich den Algorithmus nicht umkehren zur berechnung der Inversen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
> Ja.
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 02.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
du musst das anders machen  ). Es gilt [mm] $(x^2-1)*p [/mm] = 1$ für ein Polynom p. Du kannst jedes Polynom in der Basis [mm] $\{1,x,x^2\}$ [/mm] darstellen also existieren $a,b,c [mm] \in \IQ$, [/mm] sodass [mm] $(x^2-1)(ax^2+bx+c) [/mm] = 1$. Löse das mit Koeffizientenvergleich.
Grüße
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Guten Abend,
> Hallo,
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> du musst das anders machen ). Es gilt [mm](x^2-1)*p = 1[/mm] für
> ein Polynom p. Du kannst jedes Polynom in der Basis
> [mm]\{1,x,x^2\}[/mm] darstellen also existieren [mm]a,b,c \in \IQ[/mm],
> sodass [mm](x^2-1)(ax^2+bx+c) = 1[/mm]. Löse das mit
> Koeffizientenvergleich.
Vielen Vielen Dank!
Das werde ich gleich probieren.
Jedoch würde mich trotzdem interessieren, warum ich für denn ggT -3 heraus kriege. ;)
Hat mir vielleicht auch noch jemand einen Tipp für die c)?
hier weiß ich nicht so recht wie Anfangen und was machen.
Vielen Dank.
>
> Grüße
Liebe Grüße
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Okay, ich habe das jetzt versucht, wie vorgeschlagen, also mit:
[mm] $(x^2-1)(ax^2+bx+c)^$
[/mm]
[mm] $\gdw ax^4+bx^3+(c-a)x^2-bx-c=1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] a=0, b=0, (c-a)=0, b=0, c=-1$
Aber das passt dann ja nicht, da
$c-a=0 [mm] \gdw [/mm] -1-0=0$ das stimmt ja nicht.
Wo liegt hier mein Denkfehler?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 02.12.2012 | | Autor: | teo |
> Okay, ich habe das jetzt versucht, wie vorgeschlagen, also
> mit:
> [mm](x^2-1)(ax^2+bx+c)^[/mm]
> [mm]\gdw ax^4+bx^3+(c-a)x^2-bx-c=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow a=0, b=0, (c-a)=0, b=0, c=-1[/mm]
>
> Aber das passt dann ja nicht, da
> [mm]c-a=0 \gdw -1-0=0[/mm] das stimmt ja nicht.
> Wo liegt hier mein Denkfehler?
Hallo, du kannst ja [mm] x^4 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] wieder reduzieren! Ich hoffe, dass das so geht, wenn nicht tut es mir sehr leid! Habs selber nicht versucht.
Grüße
> Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 02.12.2012 | | Autor: | teo |
> Guten Abend,
> > Hallo,
> >
> > du musst das anders machen ). Es gilt [mm](x^2-1)*p = 1[/mm] für
> > ein Polynom p. Du kannst jedes Polynom in der Basis
> > [mm]\{1,x,x^2\}[/mm] darstellen also existieren [mm]a,b,c \in \IQ[/mm],
> > sodass [mm](x^2-1)(ax^2+bx+c) = 1[/mm]. Löse das mit
> > Koeffizientenvergleich.
>
> Vielen Vielen Dank!
> Das werde ich gleich probieren.
> Jedoch würde mich trotzdem interessieren, warum ich für
> denn ggT -3 heraus kriege. ;)
Also wenn man das rechnet bekommt man schonmal +3 raus. [mm] \Theta [/mm] ist doch eine Nullstelle von p. [mm] \Theta [/mm] ist Nullstelle von $x-1$. $(x-1)$ teilt sowohl p als auch [mm] $x^2-1 \Rightarrow ggT(p,x^2-1) \neq [/mm] 1$.
>
> Hat mir vielleicht auch noch jemand einen Tipp für die
> c)?
> hier weiß ich nicht so recht wie Anfangen und was
> machen.
Solltest du das Inverse von oben rausbekommen haben, so könnte man mal Potenzen von diesem und von [mm] x^2-1 [/mm] betrachten und schaun, ob da vlt. x rauskommt. Keine Garantie.
> Vielen Dank.
> >
> > Grüße
>
> Liebe Grüße
>
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> > Guten Abend,
> > > Hallo,
> > >
> > > du musst das anders machen ). Es gilt [mm](x^2-1)*p = 1[/mm] für
> > > ein Polynom p. Du kannst jedes Polynom in der Basis
> > > [mm]\{1,x,x^2\}[/mm] darstellen also existieren [mm]a,b,c \in \IQ[/mm],
> > > sodass [mm](x^2-1)(ax^2+bx+c) = 1[/mm]. Löse das mit
> > > Koeffizientenvergleich.
> >
> > Vielen Vielen Dank!
> > Das werde ich gleich probieren.
> > Jedoch würde mich trotzdem interessieren, warum ich
> für
> > denn ggT -3 heraus kriege. ;)
>
> Also wenn man das rechnet bekommt man schonmal +3 raus.
> [mm]\Theta[/mm] ist doch eine Nullstelle von p. [mm]\Theta[/mm] ist
> Nullstelle von [mm]x-1[/mm]. [mm](x-1)[/mm] teilt sowohl p als auch [mm]x^2-1 \Rightarrow ggT(p,x^2-1) \neq 1[/mm].
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> > Hat mir vielleicht auch noch jemand einen Tipp für die
> > c)?
> > hier weiß ich nicht so recht wie Anfangen und was
> > machen.
>
> Solltest du das Inverse von oben rausbekommen haben, so
> könnte man mal Potenzen von diesem und von [mm]x^2-1[/mm]
> betrachten und schaun, ob da vlt. x rauskommt. Keine
> Garantie.
>
Hallo,
also es hat geklappt mit dem Koeffizientenvergleich!
Vielen vielen Dank.
Ich habe für die Inverse heraus:
$ [mm] (\Theta^2-1)^{-1}=-\frac{1}{3}\Theta^2-\Theta-\frac{1}{3}$
[/mm]
Okay, wenn ich hier nun die Potenzen betrachte, was heißt es dann, wenn x herauskommt.
Warum zeigt das dann die Gleichheit?
Vielen Dank
Liebe Grüße
>
> > Vielen Dank.
> > >
> > > Grüße
> >
> > Liebe Grüße
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 So 02.12.2012 | | Autor: | teo |
> > > Guten Abend,
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > du musst das anders machen ). Es gilt [mm](x^2-1)*p = 1[/mm] für
> > > > ein Polynom p. Du kannst jedes Polynom in der Basis
> > > > [mm]\{1,x,x^2\}[/mm] darstellen also existieren [mm]a,b,c \in \IQ[/mm],
> > > > sodass [mm](x^2-1)(ax^2+bx+c) = 1[/mm]. Löse das mit
> > > > Koeffizientenvergleich.
> > >
> > > Vielen Vielen Dank!
> > > Das werde ich gleich probieren.
> > > Jedoch würde mich trotzdem interessieren, warum ich
> > für
> > > denn ggT -3 heraus kriege. ;)
> >
> > Also wenn man das rechnet bekommt man schonmal +3 raus.
> > [mm]\Theta[/mm] ist doch eine Nullstelle von p. [mm]\Theta[/mm] ist
> > Nullstelle von [mm]x-1[/mm]. [mm](x-1)[/mm] teilt sowohl p als auch [mm]x^2-1 \Rightarrow ggT(p,x^2-1) \neq 1[/mm].
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> > >
> > > Hat mir vielleicht auch noch jemand einen Tipp für die
> > > c)?
> > > hier weiß ich nicht so recht wie Anfangen und was
> > > machen.
> >
> > Solltest du das Inverse von oben rausbekommen haben, so
> > könnte man mal Potenzen von diesem und von [mm]x^2-1[/mm]
> > betrachten und schaun, ob da vlt. x rauskommt. Keine
> > Garantie.
> >
> Hallo,
>
> also es hat geklappt mit dem Koeffizientenvergleich!
> Vielen vielen Dank.
> Ich habe für die Inverse heraus:
> [mm](\Theta^2-1)^{-1}=-\frac{1}{3}\Theta^2-\Theta-\frac{1}{3}[/mm]
>
> Okay, wenn ich hier nun die Potenzen betrachte, was heißt
> es dann, wenn x herauskommt.
> Warum zeigt das dann die Gleichheit?
[mm] \IQ(a) [/mm] bedeutet ja, dass du zu [mm] \IQ [/mm] a hinzuadjungiert hast. Das bedeutet, dass alle Vielfachen und alle Potenzen von a in [mm] \IQ(a) [/mm] enthalten sind. Also ist [mm] $a^n \in \IQ(a) \forall [/mm] n [mm] \in \IN$. [/mm] Somit kannst du zeigen, dass [mm] $\IQ(\Theta) \subseteq \IQ(\Theta^2-1)$ [/mm] Die andere Richtung folgt offensichtlich mit obiger Argumentation.
Weiß allerdings nicht ob das hier funktioniert.
Grüße
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> >
> > > Vielen Dank.
> > > >
> > > > Grüße
> > >
> > > Liebe Grüße
> > >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Mo 03.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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